Линейное уравнение с одной переменной
Урок про линейное уравнение с одной переменной: что это за уравнение, как его решать по чёткому правилу и почему иногда у него нет решения — а иногда решений бесконечно много. Это один параграф темы «Уравнения и неравенства»: правила преобразования и равносильность уравнений, решение текстовых задач, линейное уравнение с двумя переменными и системы уравнений разбираются в соседних параграфах этого же блока.
Два уравнения выглядят почти одинаково: 5x = 15 и 0x = 15. Первое решается за секунду. А второе — сколько ни пробуй числа вместо x, ответа не найти никогда. Почему одна и та же на вид запись в одном случае даёт число, а в другом — не даёт вообще ничего?
Узнавать линейное уравнение вида ax = b и называть его коэффициенты a и b
Решать линейное уравнение по правилу x = b/a, когда a ≠ 0
Определять по числам a и b, есть ли у уравнения одно решение, бесконечно много или ни одного
Что такое линейное уравнение
Уравнение — это равенство с переменной, которое верно не для любого x, а только для некоторых (или одного) чисел. Среди всех уравнений есть самый простой вид: слева переменная, умноженная на число, справа просто число. Такое уравнение и называют линейным.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа.
Числа a и b — не любые буквы, а конкретные коэффициенты конкретного уравнения. В записи 5x = 15 коэффициент a = 5, а b = 15. В записи -2x = 8 коэффициент a = -2, b = 8.
Сравниваем запись с общим видом ax = b
Перед x стоит число 7 — значит a = 7
Справа от знака равенства стоит 21 — значит b = 21
Перед x нет явного числа — но подразумевается коэффициент 1: 1·x = 4
Значит a = 1, b = 4
Это тоже линейное уравнение, просто с самым простым коэффициентом
Уравнение -3x = 9. Чему равны a и b?
показать
Уравнение -3x = 9. Чему равны a и b?
a = -3, b = 9
В уравнении 8x = 24 (форма ax = b) чему равен коэффициент a?
Как найти x: правило x = b/a
Уравнение — как весы в равновесии: то, что стоит слева, по значению равно тому, что справа. Если сделать с обеими чашками весов одно и то же действие, равновесие не нарушится. В уравнении ax = b слева x умножен на a — чтобы остался один x, обе части нужно разделить на a.
Представь весы: слева гиря ax, справа гиря b, и они уравновешены. Если обе чашки одновременно разделить на a (например, снять с каждой одинаковую долю груза), весы останутся в равновесии — поэтому x = b/a получается делением ОБЕИХ частей на одно и то же число a.
Опорное правило для запоминания: «свободное число дели на коэффициент перед x» — b всегда наверху дроби, a внизу, а не наоборот.
Сравниваем с общим видом ax = b: здесь a = 3, b = 12
По правилу x = b/a: x = 12 / 3
x = 4
Проверка: 3·4 = 12 — совпадает с правой частью, корень найден правильно
Здесь a = -2, b = 10
x = 10 / (-2)
x = -5
Проверка: -2·(-5) = 10 — совпадает с правой частью
В уравнении -2x = 10 корень x = 5, потому что 2·5 = 10
Знак терять нельзя: делить надо именно на -2, а не на 2. x = 10 / (-2) = -5, а не 5
Прикинь в уме корень уравнения 6x = 18
показать
Прикинь в уме корень уравнения 6x = 18
x = 18/6 = 3
Реши уравнение 5x = 35.
Особые случаи: без решения и с решениями без счёта
Вернёмся к загадке из начала урока: 5x = 15 и 0x = 15. В первом a = 5 — обычный случай, x = 15/5 = 3. А во втором a = 0: разделить на 0 нельзя, правило x = b/a здесь просто не работает. Разберём, что происходит в таких уравнениях отдельно.
— подходит любое число x
Представь весы, на обе чашки которых умножение на 0 не кладёт вообще ничего — какой бы груз x ты ни задумал, до весов он просто не доходит. Раз обе чашки пусты и без того в равновесии, весы уравновешены при любом x.
Уравнение 0x = 0 верно для абсолютно любого x: умножь ноль на что угодно — получится ноль, и слева, и справа будет 0 = 0. Значит, корень не один, а сразу все числа.
— корней не существует
Теперь одна чашка весов по-прежнему пуста (0x), а на другую всё равно просят положить гирю b. Сколько ни перебирай x, до пустой чашки груз не доходит — а гиря b на другой чашке никуда не девается. Весы никогда не уравновесятся.
А вот 0x = 15 не верно ни при каком x: сколько ни умножай на 0, слева получится 0, а справа стоит 15 — они никогда не совпадут. У такого уравнения корней нет.
| Случай | Пример | Число корней |
|---|---|---|
a ≠ 0 | 5x = 15 | Один корень: x = 3 |
a = 0, b = 0 | 0x = 0 | Бесконечно много корней (любое x) |
a = 0, b ≠ 0 | 0x = 15 | Корней нет |
Если в уравнении переменная x пропала, значит, где-то ошибка в решении
Это нормальный итог: если получилось верное числовое равенство (0 = 0) — корней бесконечно много, если неверное (0 = 15) — корней нет вообще
Сколько корней у уравнения 0x = 0?
показать
Сколько корней у уравнения 0x = 0?
Бесконечно много — подходит любое число
Уравнение 0x = 8. Сколько у него корней?
Дело в коэффициенте a. У 5x = 15 коэффициент a = 5 — обычный случай, x = 15/5 = 3, решение единственное. А у 0x = 15 коэффициент a = 0: сколько число ни умножай на 0, всегда получится 0, а не 15 — совпадения не будет никогда, поэтому у такого уравнения нет решений вовсе. Если бы вместо 15 справа тоже стоял 0 (0x = 0), было бы наоборот: подошло бы вообще любое число.
Линейное уравнение имеет вид ax = b, где a и b — числа
Если a ≠ 0, у уравнения ровно один корень: x = b/a
Если a = 0 и b = 0 — корней бесконечно много (подходит любое число)
Если a = 0 и b ≠ 0 — у уравнения нет ни одного корня
Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа
Числа a и b в записи ax = b; a стоит при переменной, b — свободное число справа
Число, при подстановке которого вместо x равенство становится верным
линейное уравнение с одной переменной
решение, если
единственный корень
корней бесконечно много
корней нет
Слово «уравнение» появилось в русском языке как перевод латинского aequatio — «уравнивание», то есть приведение двух частей к равенству.
Линейное уравнение
Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — числа
Так это спрашивают на экзамене
демоверсии ФИПИРешите уравнение .
Уравнения 2x = 0, 0x = 0, 0x = 5 и 5x = 0 отличаются числами. У какого из них решений нет вообще?