Введение в алгебру
Урок открывает алгебру: зачем в математике появляются буквы вместо чисел, чем алгебраическое выражение отличается от числового и как одна формула считает периметр сразу для всех прямоугольников. Это первый параграф большой темы «Алгебраические выражения» — раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, степени, многочлены и формулы сокращённого умножения разбираются в следующих параграфах этого же блока.
Мастер кладёт бордюр вокруг прямоугольных клумб на участке — они все разного размера: одна узкая и длинная, другая почти квадратная. Можно ли посчитать периметр КАЖДОЙ клумбы одной и той же короткой записью, не выводя формулу заново для каждой?
Отличать числовое выражение от выражения с переменной и находить его значение при заданных числах
Различать среди алгебраических выражений целые (без деления на переменную) и остальные
Применять формулу периметра прямоугольника P = 2(a + b) для любых чисел a и b
Буквы вместо чисел: зачем?
Представь ларёк, где пирожок стоит 30 рублей. Цена покупки зависит от того, сколько пирожков берёшь: 1 — 30 рублей, 2 — 60, 5 — 150. Каждый раз считать заново неудобно. Гораздо удобнее один раз записать правило: цена = 30 · (число пирожков) — и подставлять любое количество. Вот это место для количества, куда можно подставлять числа, в математике и называют буквой-переменной. Оговорка: подставлять можно не совсем любое число — есть выражения, где, например, нельзя делить на 0, и такие запрещённые значения переменной приходится держать в уме.
Буквы, которые можно заменять произвольными числами, называют переменными, а само буквенное выражение — выражением с переменными (или с переменной, если она одна).
Если в выражении с переменной подставить вместо буквы конкретное число и довести вычисление до конца, получится значение выражения при этом числе. У числового выражения (без букв) значение вообще одно и не меняется — как у 3 + 5, это всегда 8.
Число, получаемое в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением числового выражения.
Подставляем число 4 вместо буквы x: 3·4 + 5
Считаем по порядку действий: сначала умножение — 3·4 = 12
Затем сложение: 12 + 5 = 17
Значение выражения 3x + 5 при x = 4 равно 17
Подставляем 0 вместо x: 3·0 + 5
3·0 = 0, значит выражение упрощается до 0 + 5
Значение равно 5 — та же запись даёт другое число для другого x
Выражение 2y - 1. Чему равно его значение при y = 6?
показать
Выражение 2y - 1. Чему равно его значение при y = 6?
2·6 - 1 = 12 - 1 = 11
Как называют буквы в буквенном выражении, которые можно заменять произвольными числами?
Периметр одной формулой на все прямоугольники
Вернёмся к бордюру вокруг клумбы. У любого прямоугольника ровно два вида сторон: длина и ширина, а сторон каждого вида — по две одинаковых. Обозначим длину буквой a, ширину — буквой b. Тогда периметр (сумма длин всех сторон) — это a + b + a + b, то есть дважды сумма a и b.
— периметр прямоугольника со сторонами a и b
Представь прямоугольную рамку, сколоченную из деревянных реек: один длинный брусок и один короткий уже дают ровно половину рамки, a + b. Материала на всю рамку нужно вдвое больше — отсюда и удвоение: 2(a + b).
Опорная фраза для запоминания: «сложил соседние стороны — удвоил». Если в ответе получилось меньше, чем удвоенная бо́льшая сторона, — где-то забыли одну пару сторон.
Подставляем a = 5, b = 3 в формулу P = 2(a + b)
Сначала складываем в скобке: a + b = 5 + 3 = 8
Затем удваиваем: P = 2·8 = 16
На бордюр вокруг клумбы уйдёт 16 метров ленты
P = a + b — периметр прямоугольника со сторонами 5 и 3 равен 5 + 3 = 8
У прямоугольника по ДВЕ стороны каждой длины, поэтому сумму нужно удвоить: P = 2(a + b) = 2·8 = 16, а не 8
Прикинь в уме: периметр прямоугольника со сторонами 10 и 4?
показать
Прикинь в уме: периметр прямоугольника со сторонами 10 и 4?
2·(10+4) = 2·14 = 28
Что в алгебре называют «значением числового выражения»?
Какие бывают алгебраические выражения
Все выражения, что нам встретятся в алгебре, делятся по одному простому признаку: есть в записи буквы или нет, и если есть — участвуют ли они в делении.
Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями.
Алгебраические выражения, не содержащие деления на выражения с переменными, называют целыми выражениями.
Выражения 3x + 5 и 2(a+b) — целые: в них есть умножение и сложение с буквами, но нет деления НА букву. А вот выражение 10 / x — уже не целое: тут делят именно на переменную.
5 / x — целое выражение, ведь тут только одно действие деления
Целое выражение не терпит деления именно НА переменную. 5 / x делит на x — значит, это уже не целое, а другой вид алгебраического выражения
Выражение 7a - 2b: это целое выражение?
показать
Выражение 7a - 2b: это целое выражение?
Да — деления на переменную здесь нет, только умножение и вычитание
Какое из определений точнее всего описывает понятие «алгебраические выражения»?
Да — рецепт один: P = 2(a + b). Буквы a и b — это не конкретные метры, а места, куда подставляют ЛЮБЫЕ числа: для узкой клумбы 6×1, для почти квадратной 4×3 — формула та же, меняются только числа внутри. В этом и состоит идея алгебры: один раз найти общее правило вместо того, чтобы решать каждый частный случай заново. Кстати, само слово «алгебра» пришло из книги математика IX века аль-Хорезми, посвящённой решению уравнений общими правилами.
Переменная — буква, вместо которой можно подставлять любое число
Значение выражения с переменной зависит от того, какое число подставили
Целое выражение — алгебраическое выражение без деления на переменную
Периметр любого прямоугольника считается одной формулой: P = 2(a + b)
Буква, которую можно заменять произвольными числами
Числовое выражение или выражение с переменными
Алгебраическое выражение без деления на выражение с переменной
- Переменная
буква вместо любого числа
- Значение выражения
число после подстановки переменной
- Целое выражение
выражение без деления на переменную
периметр прямоугольника через стороны
Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» — так называлась книга среднеазиатского математика аль-Хорезми (IX век), посвящённая решению уравнений через общие правила, а не подбором чисел.
Как называют буквы, которые можно заменять произвольными числами?
Переменные
Так это спрашивают на экзамене
демоверсии ФИПИМощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле , где — сила тока (в амперах), — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление , если мощность составляет 361,25 Вт, а сила тока равна 8,5 А. Ответ дайте в омах.
Кинетическая энергия тела массой кг, двигающегося со скоростью , вычисляется по формуле и измеряется в джоулях (Дж).
Кинетическая энергия тела массой кг, двигающегося со скоростью м/с, вычисляется по формуле и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 240 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Энергия заряженного конденсатора (в джоулях) вычисляется по формуле , где — ёмкость конденсатора (в фарадах), а — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Какое из данных алгебраических выражений является целым?
Инфографика
Слайды
