Разложено
Разложено
Алгебра · 7 класс · Алгебраические выражения

Тождественно равные выражения. Тождества

Урок о том, почему некоторые равенства верны всегда — при любых числах вместо букв — и как этим пользоваться, чтобы считать и упрощать выражения быстрее. Это первый урок темы: допустимые значения переменных, вычисления по формулам, приведение подобных слагаемых, свойства степеней, действия с многочленами и формулы сокращённого умножения разбирают следующие уроки этого же блока.

Читать урок
Алгебра
Алгебра
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Просвещение, 2022 · 9-е изд., стер.с. 31–35
3 частей · 28 минсреднийчитаешь как гость

Сосчитай в уме: 17+38+317+38+3. Многие сначала складывают 38+3=4138+3=41, потом прибавляют 1717 — так проще, чем считать по порядку. Почему так можно делать с любыми числами и всегда получать один и тот же ответ?

Вернёмся к нему в конце урока.
Ментальная карта
как связаны идеи урока
После урока ты сможешь

  1. Отличать тождественно равные выражения от просто похожих на вид

  2. Применять переместительный, сочетательный и распределительный законы для упрощения выражений

  3. Проверять подстановкой числа, является ли равенство тождеством, и находить контрпример, если нет

1
Часть 1 · 8 мин

Тождественно равные выражения и тождества

Когда два разных на вид выражения — на самом деле одно и то же

Возьмём выражения 2(3+4)2(3+4) и 2⋅3+2⋅42\cdot 3+2\cdot 4. Оба равны 14 — но это не совпадение. Проверь с другими числами, например с 2(5+1)2(5+1) и 2⋅5+2⋅12\cdot 5+2\cdot 1: снова получится одно и то же, 1212. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение
Тождественно равные выражения

Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Ассоциация
Разные пути в одну точку

Как два разных маршрута до одного и того же дома — идёшь через парк или напрямик, приходишь в одно место. Так и 2(3+4)2(3+4) и 2⋅3+2⋅42\cdot 3+2\cdot 4 — разная запись, но всегда один и тот же результат. Мнемоника: «выглядят по-разному — приходят в одну точку».

Две ветвящиеся дорожки-формулы сходятся в одной точке-значении
Определение
Тождество

Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Проверим на нескольких числах, похоже ли 2(a+1)=2a+22(a+1)=2a+2 на тождество

  1. При a=3a=3: слева 2(3+1)=82(3+1)=8, справа 2⋅3+2=82\cdot 3+2=8 — совпало

  2. При a=0a=0: слева 2(0+1)=22(0+1)=2, справа 2⋅0+2=22\cdot 0+2=2 — совпало

  3. При a=−5a=-5: слева 2(−5+1)=−82(-5+1)=-8, справа 2⋅(−5)+2=−82\cdot(-5)+2=-8 — совпало

  4. Совпадение на трёх разных числах (включая ноль и отрицательное) — сильный намёк, что это тождество, но сама по себе проверка ничего не доказывает: чисел бесконечно много, все не перебрать

  5. Настоящее доказательство — раскрыть скобки по распределительному закону (часть 3): 2(a+1)=2a+22(a+1)=2a+2 дословно, значит равенство верно для ЛЮБОГО aa, а не только для проверенных

Определение
Тождественное преобразование

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Ассоциация
Переодеться, оставшись собой

Тождественное преобразование — как переодеться в другую одежду: выглядишь иначе, но человек тот же самый. Заменил 2(a+1)2(a+1) на 2a+22a+2 — запись другая, а значение при любом aa то же. Мнемоника: «поменял вид — не поменял суть».

Один силуэт в двух разных нарядах со стрелкой равенства между ними

Верно ли равенство x+3=3+xx+3=3+x при x=−2x=-2? А при любом xx?

показать

При x=−2x=-2: обе части равны 11. И при любом xx обе части совпадают — это тождество (доказывается переместительным законом, часть 2).

Проверь себя
мини-тест части 1 · вопросы наугад
Вопрос 1 из 3лёгкий

Валя посчитала 2(3+4)2(3+4) и получила 14, а Зина посчитала 2⋅3+2⋅42\cdot 3+2\cdot 4 и тоже получила 14. Можно ли назвать эти два выражения тождественно равными?

1 из 3
2
Часть 2 · 10 мин

Переместительный и сочетательный законы

Слагаемые и множители можно переставлять и перегруппировывать

Ты и так всегда считал так, просто не называл это законом: порядок, в котором складываешь числа, не важен.

Формула
Переместительный закон

a+b=b+aa+b=b+a — для сложения. ab=baab=ba — для умножения.

Ассоциация
Надеть носки

Как ни надень два носка — сначала левый, потом правый, или наоборот — результат один: обе ноги в носках. Так и здесь: переставил слагаемые (или множители) местами — ничего не изменилось. Мнемоника: «переместительный — переставил, не пересчитывал».

Применим переместительный закон

  1. Нужно посчитать 8+978+97

  2. Переставим: 97+897+8 — считать проще, ведь к 97 прибавить 8 привычнее «в уме»

  3. Получаем 105105 — тот же ответ, что дал бы прямой счёт 8+978+97

Формула
Сочетательный закон

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c) — для сложения. (ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc) — для умножения.

Ассоциация
Фотография двух групп

Собери 6 друзей в две группы по-разному — сначала 2 и 4, потом сфотографируй как 3 и 3 — на фото всё равно 6 человек. Скобки — это просто способ сгруппировать при подсчёте, само число не меняется. Опорное число: «(2+3)+4(2+3)+4 и 2+(3+4)2+(3+4) — оба дают 99».

Применим сочетательный закон

  1. Нужно посчитать 25+68+7525+68+75

  2. Перегруппируем: (25+75)+68(25+75)+68

  3. 25+75=10025+75=100, значит 100+68=168100+68=168 — быстрее, чем считать по порядку

Проверь себя
мини-тест части 2 · вопросы наугад
Вопрос 1 из 3лёгкий

У кассы Аня и Боря подошли в одном порядке, потом Аня встала после Бори — сумма денег в кассе от перестановки покупателей не изменится. Какой закон здесь работает по смыслу?

1 из 3
3
Часть 3 · 10 мин

Распределительный закон и проверка тождеств

Как раскрывать скобки и как убедиться, что равенство — не тождество

Переместительный и сочетательный законы работают с ОДНИМ действием — только сложение или только умножение. Распределительный закон связывает сразу два действия: умножение и сложение внутри скобок.

Формула
Распределительный закон

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

Ассоциация
Раздать подарки двум группам

У тебя одинаковый подарок для каждого из bb друзей в одной комнате и для каждого из cc друзей в другой. Раздать по одному подарку каждому (ab+acab+ac) — то же самое, что сначала посчитать всех людей вместе (b+cb+c), а потом раздать всем сразу (a(b+c)a(b+c)). Мнемоника: «умножаем на каждого по отдельности — итог не меняется».

Схема: множитель a со стрелками к группе b и группе c по отдельности и к их сумме
Раскроем скобки

  1. Нужно упростить 5(x+3)5(x+3)

  2. По распределительному закону умножаем 5 на каждое слагаемое: 5⋅x+5⋅35\cdot x+5\cdot 3

  3. Получаем 5x+155x+15

А как проверить, что равенство — тождество, если формулу подсказать некому? Подставь по очереди несколько разных чисел (не забудь ноль и отрицательное) — если хоть раз не сошлось, это не тождество.

Неверно

(a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2 — ведь квадрат суммы это же просто квадраты слагаемых

Верно

При a=1,b=1a=1,b=1: слева 44, справа 22 — не совпало, значит равенство не тождество. Правильно: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

Является ли 2(x−1)=2x−12(x-1)=2x-1 тождеством? Проверь на x=5x=5.

показать

При x=5x=5: слева 2(5−1)=82(5-1)=8, справа 2⋅5−1=92\cdot 5-1=9 — не совпало, значит это не тождество (забыли умножить 2 на 1).

Проверь себя
мини-тест части 3 · вопросы наугад
Вопрос 1 из 3лёгкий

У каждого из 3 друзей по 2 яблока и по 2 груши. Общее число фруктов можно посчитать как 3⋅2+3⋅23\cdot 2+3\cdot 2 (яблоки и груши отдельно) или как 3⋅(2+2)3\cdot(2+2) (сразу по каждому) — ответы совпадут. Это пример какого закона?

1 из 3

17+38+317+38+3 удобнее посчитать как 17+(38+3)17+(38+3) или переставить слагаемые и сложить 38+3=4138+3=41, потом 17+41=5817+41=58 — по сочетательному и переместительному законам порядок и группировка слагаемых не влияют на сумму, поэтому оба способа дают верный ответ 5858.

Возвращаемся к вопросу урока
Главное за минуту
что нужно унести из урока

  • Тождественно равные выражения совпадают по значению при ЛЮБЫХ числах, а не для одного частного случая

  • Переместительный закон: a+b=b+aa+b=b+a, ab=baab=ba — можно менять порядок слагаемых/множителей

  • Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc) — можно перегруппировывать скобками

  • Распределительный закон: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac — умножение раскрывается по каждому слагаемому

  • Чтобы опровергнуть тождество, достаточно ОДНОГО числа, на котором равенство не выполняется

Термины урока
Тождественно равные выражения

Выражения, значения которых равны при любых значениях переменных

Тождество

Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных

Тождественное преобразование

Замена выражения другим, тождественно равным ему

Шпаргалка
Свойства действий
a+b=b+aa+b=b+a

переместительный закон сложения

ab=baab=ba

переместительный закон умножения

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)

сочетательный закон сложения

(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)

сочетательный закон умножения

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

распределительный закон умножения относительно сложения

Понятия и проверка
Тождество

равенство, верное при любых значениях переменных

Как опровергнуть

хватит одного числа-контрпримера

Секретный факт

Не все действия «прощают» перестановку: 5−3≠3−55-3\ne 3-5 и 10:2≠2:1010:2\ne 2:10. Переместительный закон работает только для сложения и умножения — вычитание и деление не подчиняются этому правилу вообще.

Повторялка
осталось ещё 4 · круг ≈ 1 мин
Вопрос1/4

Переместительный закон сложения

нажми, чтобы перевернуть
Ответ1/4

a+b=b+aa+b=b+a

отметь: знал или нет
выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ
3 задания по этой теме — как вопрос выглядит на самом экзамене
ОГЭ 202712

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P=I2RP = I^2 R, где II — сила тока (в амперах), RR — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление RR, если мощность составляет 361,25 Вт, а сила тока равна 8,5 А. Ответ дайте в омах.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 12
Оригинал задания из демоверсии
Ответ: 51 балл
ОГЭ 202612

Кинетическая энергия тела массой mm кг, двигающегося со скоростью vv, вычисляется по формуле E=mv22E=\frac{mv^2}{2} и измеряется в джоулях (Дж).

Кинетическая энергия тела массой mm кг, двигающегося со скоростью vv м/с, вычисляется по формуле E=mv22E = \frac{mv^2}{2} и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 240 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Задание ОГЭ 2026 года, номер 12
Оригинал задания из демоверсии
Ответ: 201 балл
ОГЭ 202512

Энергия заряженного конденсатора WW (в джоулях) вычисляется по формуле W=CU22W = \frac{CU^2}{2}, где CC — ёмкость конденсатора (в фарадах), а UU — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 10−410^{-4} фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Задание ОГЭ 2025 года, номер 12
Оригинал задания из демоверсии
Ответ: 0,00721 балл
Задание экзамена здесь появится в старших классах — сначала формула, экзамен потом.
Босс урока
случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые
Босс: собери всё вместе
итоговый тест урока
Вопрос 1 из 8лёгкий

Выражения 3x3x и x+x+xx+x+x тождественно равны, потому что их значения совпадают при любом xx. А выражения 3x3x и x3x^3 — тождественно равны?

1 из 8