Художник стирает ластиком половину нарисованной точки. Останется ли то, что осталось, снова точкой?

Нет — точка неделима, у неё нет частей, поэтому «половину точки» стереть в принципе нельзя: либо точка есть целиком, либо её нет

Да, просто эта точка станет вдвое меньше

Да, но только если стереть строго её левую половину

Нет — после стирания получится отрезок

На листе нарисовали одну прямую линию (без начала и конца) и объявили её единой фигурой. Можно ли также назвать геометрической фигурой отдельно взятую точку на середине этой линии?

Да — любое множество точек является геометрической фигурой, и одна точка не исключение

Нет — точка на линии принадлежит только этой линии и отдельной фигурой быть не может

Да, но только если эту точку специально закрасить

Нет — фигурой может быть только целая линия, а не её часть

Окружность с центром в точке $O$ имеет радиус $8\text{ см}$. Точка $M$ находится на расстоянии $8\text{ см}$ от точки $O$. Где расположена точка $M$?

На самой окружности

Строго внутри окружности

В центре окружности

Геометрия · 7 класс · Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

Геометрические фигуры

На этом уроке мы узнаем, что изучает планиметрия, познакомимся с точкой, окружностью и её радиусом, а также научимся правильно находить периметр и площадь прямоугольника.

Читать урок

3 частей · 16 минлёгкийчитаешь как гость

Представь, что тебе нужно огородить прямоугольный загон для кроликов и постелить внутри газонный ковёр. Забор продаётся в метрах, а ковёр — в квадратных метрах. Почему для одного и того же загона нужны совершенно разные единицы измерения?

Вернёмся к нему в конце урока.

Контракт урока

что нужно знать → чему научишься → что откроет

Что откроет

Точка, прямая, плоскость

После урока ты сможешь

Разбираться, из каких простейших элементов (точек) состоят геометрические фигуры на плоскости, и узнавать окружность по её центру и радиусу.
Различать понятия окружности, её центра и радиуса.
Находить периметр и площадь прямоугольника по формуле $S = a \cdot b$ и использовать правильные единицы измерения.

Часть 1 · 5 мин

Что изучают в геометрии: точки и фигуры на плоскости

Все видимые нам предметы имеют форму и размер. В геометрии их описывают с помощью плоских фигур. Раздел геометрии, который изучает такие фигуры, называется планиметрией.

Определение

Планиметрия

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.

Из чего же складывается любое изображение или чертёж? Из самых элементарных частичек — точек.

Определение

Точка

Точка — простейшая и неделимая геометрическая фигура, из которой состоят другие фигуры.

Определение

Геометрическая фигура

Геометрическая фигура — любое множество точек.

Ассоциация

Аналогия с пикселями

Точка в геометрии похожа на пиксель на экране смартфона. Сам пиксель неделим, но из миллионов пикселей собираются линии, фотографии и сложные фигуры.

рисунок готовится

Примеры простейших геометрических фигур на плоскости

Ассоциация

Способ запомнить

Проверка себя: если можешь пересчитать объекты по отдельности (1, 2, 3 точки) — это фигуры из точек. Если объект — просто «россыпь точек без счёта» (например, целая закрашенная область), суть не меняется: это тоже множество точек, просто их бесконечно много.

Является ли отдельная точка геометрической фигурой?

показать

Да, точка — это простейшая геометрическая фигура, состоящая из самой себя.

Проверь себя

мини-тест части 1 · 1 вопрос

Вопрос 1 из 1средний

На бумаге поставили пять точек в разных местах, не соединяя их линиями. Можно ли назвать получившийся рисунок геометрической фигурой?

Часть 2 · 5 мин

Окружность: центр и радиус

Один из самых совершенных и симметричных контуров на плоскости — это окружность.

Определение

Окружность

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра.

Определение

Центр окружности

Центр окружности — точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.

Определение

Радиус

Радиус — расстояние от центра окружности до любой ее точки.

Ассоциация

Аналогия с колесом и циркулем

Представь велосипедное колесо: втулка в середине — это центр, а металлические спицы — это радиусы. Сколько бы спиц ты ни измерил, их длина одинакова! А если вращать циркуль, ножка с иголкой будет центром, а расстояние между ножками — радиусом.

рисунок готовится

Окружность, её центр и радиус

Расстояние от центра до точки на окружности

Условие: Радиус окружности равен $5\text{ см}$ . На каком расстоянии от центра находится точка $A$ , лежащая на этой окружности?
Решение: По определению радиус — это расстояние от центра окружности до любой ее точки.
Ответ: Точка $A$ находится на расстоянии $5\text{ см}$ от центра.

Ассоциация

Способ запомнить

Проверка себя: возьми линейку и измерь от центра до линии окружности в двух разных местах — числа обязаны совпасть. Не совпали — либо это не окружность, либо один из отрезков проведён не из центра.

Если расстояние от центра до точки на линии окружности равно $7\text{ см}$ , чему равен её радиус?

показать

Радиус равен $7\text{ см}$ , так как все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Проверь себя

мини-тест части 2 · 1 вопрос

Вопрос 1 из 1средний

Задира измерил на глаз расстояния между разными парами точек одной и той же окружности: получилось то 6 см, то 9 см. Значит ли это, что окружность начерчена неправильно?

Часть 3 · 6 мин

Периметр и площадь прямоугольника: забор и газон

Когда нужно измерить геометрическую фигуру, важно различать её границу и её внутреннюю поверхность.

Определение

Периметр

Периметр геометрической фигуры — длина ее границы или сумма длин всех ее сторон.

Определение

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника — величина, равная произведению двух его соседних сторон.

Формула

Формула площади прямоугольника

$S = a \cdot b$ — площадь прямоугольника, где $a$ и $b$ — длины его соседних сторон

Правило

Обозначения и единицы измерения

Обозначения: $P$ — периметр, $S$ — площадь. Единицы длины (для периметра и сторон): $\text{м}$ (метр), $\text{см}$ (сантиметр). Единицы площади: $\text{м}^2$ (квадратный метр), $\text{см}^2$ (квадратный сантиметр).

Ассоциация

Способ запомнить и самопроверка

Периметр ( $P$ ) — это забор вокруг участка: суммируем длину всех сторон по контуру.
Площадь ( $S$ ) — это застилка пола квадратными плиточками $1 \times 1$ : умножаем ширину на длину.
Правило самопроверка: Если просят найти площадь, ответ всегда должен быть в «квадратных» единицах (например, $\text{см}^2$ ), так как перемножаются две длины!

рисунок готовится

Прямоугольник со сторонами a и b

Неверно

Площадь прямоугольника со сторонами $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$ равна $12\text{ см}$ .

Верно

Площадь прямоугольника со сторонами $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$ равна $12\text{ см}^2$ . (Единицы площади обязательно квадратные!)

Расчёт периметра и площади комнаты

Условие: Длина комнаты прямоугольной формы $a = 6\text{ м}$ , а ширина $b = 4\text{ м}$ . Найдите её периметр и площадь.
Шаг 1: Найдём периметр $P$ . У прямоугольника противоположные стороны равны: $P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20\text{ м}$ .
Шаг 2: Найдём площадь $S$ по формуле $S = a \cdot b$ . Подставляем значения: $S = 6 \cdot 4 = 24\text{ м}^2$ .
Ответ: $P = 20\text{ м}$ , $S = 24\text{ м}^2$ .

Стороны прямоугольника равны $5\text{ см}$ и $2\text{ см}$ . Чему равна его площадь?

показать

$S = 5 \cdot 2 = 10\text{ см}^2$ .

Проверь себя

мини-тест части 3 · 1 вопрос

Вопрос 1 из 1средний

Какова площадь прямоугольника со сторонами $5\text{ см}$ и $8\text{ см}$ ?

Забор ограждает границу участка — его длина определяется периметром $P$ и измеряется в линейных метрах (м). Ковёр покрывает всю внутреннюю поверхность — его размер определяется площадью $S = a \cdot b$ и измеряется в квадратных метрах (м²). Поэтому для границы и поверхности применяются разные единицы измерения.

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Планиметрия изучает фигуры на плоскости, а любая фигура состоит из точек.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой удалены от центра на одинаковое расстояние — радиус.
Периметр $P$ — длина границы фигуры (сумма длин всех сторон), измеряется в м или см.
Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$ показывает размер поверхности и измеряется в м² или см².

Термины урока

Планиметрия: Раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.
Точка: Простейшая и неделимая геометрическая фигура, из которой состоят другие фигуры.
Геометрическая фигура: Любое множество точек.
Окружность: Замкнутая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра.
Центр окружности: Точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.
Радиус: Расстояние от центра окружности до любой ее точки.
Периметр: Длина границы геометрической фигуры или сумма длин всех ее сторон.
Площадь прямоугольника: Величина, равная произведению двух его соседних сторон.

Шпаргалка

Краткая шпаргалка по теме «Геометрические фигуры»

Планиметрия — геометрия на плоскости.
Точка — простейшая неделимая фигура.
Окружность: замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра на расстояние, равное радиусу.
Периметр ( $P$ ): длина границы (сумма сторон). Единицы: $\text{м}$ , $\text{см}$ .
Площадь прямоугольника ( $S$ ): $S = a \cdot b$ . Единицы: $\text{м}^2$ , $\text{см}^2$ .

Секретный факт

Слово «периметр» происходит от греческих слов «пери» (вокруг) и «метрео» (измеряю) — буквально «измерение вокруг»!

Секретный факт

У окружности бесконечно много осей симметрии — она совпадает сама с собой при повороте вокруг центра на ЛЮБОЙ угол. Для сравнения: у квадрата это получается только при повороте на 90°, 180°, 270° и 360° — и ни при каком другом угле.

Карточки урока

4 карточки · переворачивай и отмечай, что уже знаешь

1 из 4

Что такое планиметрия?

Показать ответ

Ответ

Раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.

щёлкни карточку, чтобы перевернуть · ← → листают · пробел переворачивает

Задание экзамена здесь появится в старших классах — сначала формула, экзамен потом.

Босс урока

8 вопросов по всему уроку

Босс: собери всё вместе