Отрезки и лучи
Отрезок и луч — родственники прямой, но со своими правилами. Разберёмся, что значит «точка лежит между», как измеряют длину отрезка и почему её можно отложить от начала луча только одним способом.
Тебе дали линейку без единой отметки — просто ровную деревянную планку без цифр. Можно ли ей вообще хоть как-то измерить длину стола?
Определишь, какая из трёх точек прямой лежит между двумя другими, и объяснишь, зачем это отдельно проговаривать аксиомой.
Отличишь отрезок от луча и запишешь их обозначения ([AB], [OA)).
Применишь аксиомы длины отрезка (AC + BC = AB и единственность откладывания) для решения задач на отрезки.
Точки на прямой: кто между кем
Если на прямой отметить три точки, на глаз сразу видно, какая из них лежит посередине. Но «на глаз видно» — не аргумент для доказательств, поэтому у геометрии на этот счёт есть отдельная аксиома.
Вторая аксиома прямой: из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
Почему аксиома работает только на прямой
На окружности с тремя точками всё иначе: канон не определяет для окружности понятие «между», и не случайно — глядя на три точки на окружности, нельзя однозначно назвать одну из них «лежащей между» двумя другими: смотря в какую сторону обходить окружность, «средней» покажется то одна, то другая точка. Именно поэтому аксиома специально уточняет «на одной прямой»: только там понятие «между» однозначно, без выбора направления обхода.
Отрезок AB: все точки на прямой, лежащие между двумя её точками A и B. Точки A и B называются концами отрезка и принадлежат ему.
Луч (полупрямая): все точки на прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки (начала луча). Начало луча принадлежит ему.
Способ запомнить — посчитай «хозяев»-концов, которые ПРИНАДЛЕЖАТ фигуре: у отрезка их два (оба конца), у луча один (начало), у прямой — ни одного. Чем меньше хозяев, тем длиннее фигура: отрезок конечен, луч бесконечен в одну сторону, прямая — в обе.
Обозначают эти фигуры так: [AB] или [BA] — отрезок с концами в точках A и B; [OA) — луч с началом в точке O, проходящий через точку A; (AB) — прямая линия, проходящая через точки A и B. Квадратная скобка у точки означает «эта точка принадлежит фигуре», круглая у луча — «дальше фигура не ограничена».
У отрезка [AB] и у прямой (AB) — общие точки A и B, но чем отрезок отличается от прямой?
показать
У отрезка [AB] и у прямой (AB) — общие точки A и B, но чем отрезок отличается от прямой?
Отрезок ограничен точками A и B и содержит только точки между ними; прямая (AB) продолжается через A и B в обе стороны бесконечно.
На прямой отмечены точки A, B и C так, что точка B лежит между A и C. Может ли одновременно точка A лежать между B и C?
Три аксиомы длины отрезка
Длина отрезка: число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок и его части можно последовательно отложить на данном отрезке.
Первая аксиома отрезков: каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок.
Именно поэтому неразмеченной линейкой стол всё-таки можно измерить: достаточно принять саму линейку за единицу длины и посчитать, сколько раз она целиком уложится вдоль стола. Если линейка уложилась ровно, число уложений и есть точная длина стола — только не в метрах, а в «линейках». А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, его длину неразмеченной линейкой уже не измеришь так же точно — можно только прикинуть на глаз или уточнить, сложив линейку пополам и приложив половину.
Опорное правило: единица длины — это ДОГОВОРЁННОСТЬ, а не природная константа. Смени единицу измерения — число изменится, а сам отрезок останется тем же самым куском прямой.
a > 0 (длина любого отрезка больше нуля). Способ самопроверки: если в решении задачи получилась отрицательная или нулевая длина — это верный признак ошибки в вычислениях, а не необычный ответ.
AC + BC = AB (для любой точки C, принадлежащей отрезку AB)
Представь прямую дорогу от дома (A) до школы (B) с ларьком (C) ровно на этом пути. Расстояние от дома до ларька плюс расстояние от ларька до школы всегда равно расстоянию от дома до школы напрямую — но только если ларёк стоит РОВНО на дороге, а не в стороне. У отрезка то же самое: если C принадлежит отрезку AB, то AC + CB = AB.
Посчитал AC и CB по отдельности — их сумма ОБЯЗАНА дать ровно AB. Не сошлось: либо точка C на самом деле не лежит на отрезке AB, либо где-то ошибка в измерении или вычислении.
По второй аксиоме отрезков: AC + CB = AB.
Подставляем известное: 5 + CB = 12.
CB = 12 − 5 = 7 см.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок любой длины и только одним способом.
Закрепи конец рулетки в точке O и вытяни ленту ровно на 5 см — конец окажется в одной-единственной точке: назад лента не пойдёт и длиннее 5 см сама себя не сделает. Отложить от того же начала отрезок другой длины — другая точка, но снова только одна.
Одна и та же длина, отложенная от ОДНОГО и того же начала в ОДНУ и ту же сторону, — всегда одна и та же точка. Получил на бумаге две разные точки — проверь, не отложил ли ты их в разные стороны или от разных начал.
Отрезок AB = 20 см, точка C принадлежит ему, AC = 14 см. Чему равна CB?
показать
Отрезок AB = 20 см, точка C принадлежит ему, AC = 14 см. Чему равна CB?
CB = AB − AC = 20 − 14 = 6 см (по второй аксиоме отрезков: AC + CB = AB).
Точка C принадлежит отрезку AB, при этом AC = 9 см, а AB = 14 см. Чему равна CB?
Отрезок, луч, прямая: сравниваем и применяем
| Фигура | Концов | Протяжённость | Обозначение |
|---|---|---|---|
Отрезок | 2 (оба принадлежат фигуре) | Конечная | [AB] или [BA] |
Луч | 1 (начало принадлежит фигуре) | Бесконечная в одну сторону | [OA) |
Прямая | 0 | Бесконечная в обе стороны | (AB) |
Эта же тройка легко находится в быту. Швейный сантиметр (рулетка) закреплён нулевой отметкой в одной точке и разматывается только в одну сторону — это модель луча. Верёвка, туго натянутая и завязанная узлами на двух столбах, — модель отрезка: у неё есть оба конца, и они ей принадлежат. А вот лазерный уровень, направленный вдоль стены и мысленно продолженный сквозь неё в обе стороны, — уже модель прямой.
Единицы длины в геометрии — метр (м), миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км). Между ними стандартные переходы: 1 м = 100 см = 1000 мм, а 1 км = 1000 м — этим удобно пользоваться при пересчёте результатов измерения в разные единицы.
Каждый отрезок измерения примыкает к следующему без пропусков и наложений — как точки, разбивающие один общий отрезок.
По второй аксиоме отрезков суммарная длина стены равна сумме всех частей: 150 + 150 + 42.
150 + 150 + 42 = 342 см, то есть 3 м 42 см.
Почему для точного измерения важно, чтобы отрезки-приёмы рулетки НЕ накладывались друг на друга и не оставляли пропусков?
показать
Почему для точного измерения важно, чтобы отрезки-приёмы рулетки НЕ накладывались друг на друга и не оставляли пропусков?
Потому что формула AC + CB = AB работает только когда точка деления действительно принадлежит измеряемому отрезку без пропусков и наложений — иначе сумма частей не равна общей длине.
Возвращаемся к вопросу. Так можно ли неразмеченной линейкой измерить стол? Да, но с одной честной оговоркой. По первой аксиоме отрезков за единицу длины можно принять любой отрезок — в том числе саму линейку. Приложи её вдоль стола от края до края и посчитай, сколько раз она уложится целиком: это число совершенно точно, аксиома это гарантирует. А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, вот его-то неразмеченной линейкой уже не измерить с той же точностью — тут поможет только прикидка на глаз или дополнительный приём вроде складывания линейки пополам. Итог: целые «линейки» — точно, а последний неполный кусок — уже приближённо.
Швейный сантиметр (рулетка) закреплён нулевой отметкой в одной точке и разматывается только в одну сторону. Какую из трёх фигур — отрезок, луч или прямую — он моделирует лучше всего?
Да, кое-что измерить можно: по первой аксиоме отрезков за единицу длины можно принять любой отрезок — в том числе саму неразмеченную линейку. Нужно отложить её вдоль стола от края до края и посчитать, сколько раз она уложится целиком. Это число будет точным — аксиома гарантирует, что длина не зависит от выбранной единицы. А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, его точную длину такой линейкой уже не измерить — придётся оценивать на глаз или искать дополнительный приём (например, сложить линейку пополам).
Вторая аксиома прямой: из трёх точек одной прямой только одна лежит между двумя другими — и это работает именно для прямой, не для окружности.
Отрезок [AB] — точки между A и B плюс сами концы; луч [OA) — точки по одну сторону от начала, которое ему принадлежит.
Вторая аксиома отрезков: AC + CB = AB для точки C на отрезке AB — длина складывается из частей.
Третья аксиома отрезков: от начала луча отрезок заданной длины откладывается только одним способом; первая — что единицей длины можно взять любой отрезок.
Из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
Все точки на прямой, лежащие между двумя её точками A и B. Точки A и B называются концами отрезка и принадлежат ему.
Все точки на прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки (начала луча). Начало луча принадлежит ему.
Число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок и его части можно последовательно отложить на данном отрезке.
Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей точкой.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок любой длины и только одним способом.
- Отрезок [AB]
точки между A и B и сами концы
- Луч [OA)
точки по одну сторону от начала, начало входит
- Прямая (AB)
бесконечна в обе стороны
- Три точки прямой
ровно одна лежит между двумя другими
для точки C между A и B
- Отрезок на луче
от начала откладывается только одним способом
- Единица длины
можно принять любой отрезок
- 1 метр
100 см = 1000 мм
- 1 километр
1000 метров
- Длина отрезка
всегда больше нуля
До введения метра в XVIII веке единицами длины часто служили части тела — локоть, фут, пядь. Это работало именно благодаря первой аксиоме отрезков: за единицу длины можно принять любой отрезок, лишь бы использовать его последовательно.
Слово «отрезок» в других языках нередко связано со словом «резать» — отрезок будто «отрезан» от бесконечной прямой с двух сторон, в отличие от луча, отрезанного только с одной.
Сформулируй вторую аксиому прямой.
Из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
Ученик рассуждает: «У отрезка бесконечно много точек — значит, и концов у него тоже много». Прав ли он?