Отрезки и лучи
Отрезок и луч — родственники прямой, но со своими правилами. Разберёмся, что значит «точка лежит между», как измеряют длину отрезка и почему её можно отложить от начала луча только одним способом.
Тебе дали линейку без единой отметки — просто ровную деревянную планку без цифр. Можно ли ей вообще хоть как-то измерить длину стола?
Определишь, какая из трёх точек прямой лежит между двумя другими, и объяснишь, зачем это отдельно проговаривать аксиомой.
Отличишь отрезок от луча и запишешь их обозначения ([AB], [OA)).
Применишь аксиомы длины отрезка (AC + BC = AB и единственность откладывания) для решения задач на отрезки.
Точки на прямой: кто между кем
Если на прямой отметить три точки, на глаз сразу видно, какая из них лежит посередине. Но «на глаз видно» — не аргумент для доказательств, поэтому у геометрии на этот счёт есть отдельная аксиома.
Вторая аксиома прямой: из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
Почему аксиома работает только на прямой
На окружности с тремя точками всё иначе: канон не определяет для окружности понятие «между», и не случайно — глядя на три точки на окружности, нельзя однозначно назвать одну из них «лежащей между» двумя другими: смотря в какую сторону обходить окружность, «средней» покажется то одна, то другая точка. Именно поэтому аксиома специально уточняет «на одной прямой»: только там понятие «между» однозначно, без выбора направления обхода.
Отрезок AB: все точки на прямой, лежащие между двумя её точками A и B. Точки A и B называются концами отрезка и принадлежат ему.
Луч (полупрямая): все точки на прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки (начала луча). Начало луча принадлежит ему.
Способ запомнить — посчитай «хозяев»-концов, которые ПРИНАДЛЕЖАТ фигуре: у отрезка их два (оба конца), у луча один (начало), у прямой — ни одного. Чем меньше хозяев, тем длиннее фигура: отрезок конечен, луч бесконечен в одну сторону, прямая — в обе.
Обозначают эти фигуры так: [AB] или [BA] — отрезок с концами в точках A и B; [OA) — луч с началом в точке O, проходящий через точку A; (AB) — прямая линия, проходящая через точки A и B. Квадратная скобка у точки означает «эта точка принадлежит фигуре», круглая у луча — «дальше фигура не ограничена».
У отрезка [AB] и у прямой (AB) — общие точки A и B, но чем отрезок отличается от прямой?
показать
У отрезка [AB] и у прямой (AB) — общие точки A и B, но чем отрезок отличается от прямой?
Отрезок ограничен точками A и B и содержит только точки между ними; прямая (AB) продолжается через A и B в обе стороны бесконечно.
На прямой отмечены точки A, B и C так, что точка B лежит между A и C. Может ли одновременно точка A лежать между B и C?
Три аксиомы длины отрезка
Длина отрезка: число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок и его части можно последовательно отложить на данном отрезке.
Первая аксиома отрезков: каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок.
Именно поэтому неразмеченной линейкой стол всё-таки можно измерить: достаточно принять саму линейку за единицу длины и посчитать, сколько раз она целиком уложится вдоль стола. Если линейка уложилась ровно, число уложений и есть точная длина стола — только не в метрах, а в «линейках». А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, его длину неразмеченной линейкой уже не измеришь так же точно — можно только прикинуть на глаз или уточнить, сложив линейку пополам и приложив половину.
Опорное правило: единица длины — это ДОГОВОРЁННОСТЬ, а не природная константа. Смени единицу измерения — число изменится, а сам отрезок останется тем же самым куском прямой.
a > 0 (длина любого отрезка больше нуля). Способ самопроверки: если в решении задачи получилась отрицательная или нулевая длина — это верный признак ошибки в вычислениях, а не необычный ответ.
AC + BC = AB (для любой точки C, принадлежащей отрезку AB)
Представь прямую дорогу от дома (A) до школы (B) с ларьком (C) ровно на этом пути. Расстояние от дома до ларька плюс расстояние от ларька до школы всегда равно расстоянию от дома до школы напрямую — но только если ларёк стоит РОВНО на дороге, а не в стороне. У отрезка то же самое: если C принадлежит отрезку AB, то AC + CB = AB.
Посчитал AC и CB по отдельности — их сумма ОБЯЗАНА дать ровно AB. Не сошлось: либо точка C на самом деле не лежит на отрезке AB, либо где-то ошибка в измерении или вычислении.
По второй аксиоме отрезков: AC + CB = AB.
Подставляем известное: 5 + CB = 12.
CB = 12 − 5 = 7 см.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок любой длины и только одним способом.
Закрепи конец рулетки в точке O и вытяни ленту ровно на 5 см — конец окажется в одной-единственной точке: назад лента не пойдёт и длиннее 5 см сама себя не сделает. Отложить от того же начала отрезок другой длины — другая точка, но снова только одна.
Одна и та же длина, отложенная от ОДНОГО и того же начала в ОДНУ и ту же сторону, — всегда одна и та же точка. Получил на бумаге две разные точки — проверь, не отложил ли ты их в разные стороны или от разных начал.
Отрезок AB = 20 см, точка C принадлежит ему, AC = 14 см. Чему равна CB?
показать
Отрезок AB = 20 см, точка C принадлежит ему, AC = 14 см. Чему равна CB?
CB = AB − AC = 20 − 14 = 6 см (по второй аксиоме отрезков: AC + CB = AB).
Точка C принадлежит отрезку AB, при этом AC = 9 см, а AB = 14 см. Чему равна CB?
Отрезок, луч, прямая: сравниваем и применяем
| Фигура | Концов | Протяжённость | Обозначение |
|---|---|---|---|
Отрезок | 2 (оба принадлежат фигуре) | Конечная | [AB] или [BA] |
Луч | 1 (начало принадлежит фигуре) | Бесконечная в одну сторону | [OA) |
Прямая | 0 | Бесконечная в обе стороны | (AB) |
Эта же тройка легко находится в быту. Швейный сантиметр (рулетка) закреплён нулевой отметкой в одной точке и разматывается только в одну сторону — это модель луча. Верёвка, туго натянутая и завязанная узлами на двух столбах, — модель отрезка: у неё есть оба конца, и они ей принадлежат. А вот лазерный уровень, направленный вдоль стены и мысленно продолженный сквозь неё в обе стороны, — уже модель прямой.
Единицы длины в геометрии — метр (м), миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км). Между ними стандартные переходы: 1 м = 100 см = 1000 мм, а 1 км = 1000 м — этим удобно пользоваться при пересчёте результатов измерения в разные единицы.
Каждый отрезок измерения примыкает к следующему без пропусков и наложений — как точки, разбивающие один общий отрезок.
По второй аксиоме отрезков суммарная длина стены равна сумме всех частей: 150 + 150 + 42.
150 + 150 + 42 = 342 см, то есть 3 м 42 см.
Почему для точного измерения важно, чтобы отрезки-приёмы рулетки НЕ накладывались друг на друга и не оставляли пропусков?
показать
Почему для точного измерения важно, чтобы отрезки-приёмы рулетки НЕ накладывались друг на друга и не оставляли пропусков?
Потому что формула AC + CB = AB работает только когда точка деления действительно принадлежит измеряемому отрезку без пропусков и наложений — иначе сумма частей не равна общей длине.
Возвращаемся к вопросу. Так можно ли неразмеченной линейкой измерить стол? Да, но с одной честной оговоркой. По первой аксиоме отрезков за единицу длины можно принять любой отрезок — в том числе саму линейку. Приложи её вдоль стола от края до края и посчитай, сколько раз она уложится целиком: это число совершенно точно, аксиома это гарантирует. А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, вот его-то неразмеченной линейкой уже не измерить с той же точностью — тут поможет только прикидка на глаз или дополнительный приём вроде складывания линейки пополам. Итог: целые «линейки» — точно, а последний неполный кусок — уже приближённо.
Швейный сантиметр (рулетка) закреплён нулевой отметкой в одной точке и разматывается только в одну сторону. Какую из трёх фигур — отрезок, луч или прямую — он моделирует лучше всего?
Да, кое-что измерить можно: по первой аксиоме отрезков за единицу длины можно принять любой отрезок — в том числе саму неразмеченную линейку. Нужно отложить её вдоль стола от края до края и посчитать, сколько раз она уложится целиком. Это число будет точным — аксиома гарантирует, что длина не зависит от выбранной единицы. А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, его точную длину такой линейкой уже не измерить — придётся оценивать на глаз или искать дополнительный приём (например, сложить линейку пополам).
Вторая аксиома прямой: из трёх точек одной прямой только одна лежит между двумя другими — и это работает именно для прямой, не для окружности.
Отрезок [AB] — точки между A и B плюс сами концы; луч [OA) — точки по одну сторону от начала, которое ему принадлежит.
Вторая аксиома отрезков: AC + CB = AB для точки C на отрезке AB — длина складывается из частей.
Третья аксиома отрезков: от начала луча отрезок заданной длины откладывается только одним способом; первая — что единицей длины можно взять любой отрезок.
- Вторая аксиома прямой
Из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
- Отрезок AB
Все точки на прямой, лежащие между двумя её точками A и B. Точки A и B называются концами отрезка и принадлежат ему.
- Луч (полупрямая)
Все точки на прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки (начала луча). Начало луча принадлежит ему.
- Длина отрезка
Число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок и его части можно последовательно отложить на данном отрезке.
- Первая аксиома отрезков
Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок.
- Вторая аксиома отрезков
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей точкой.
- Третья аксиома отрезков
На любом луче от его начала можно отложить отрезок любой длины и только одним способом.
- Вторая аксиома прямой: из 3 точек на прямой только одна между двумя другими (для прямой, не для окружности).
- Отрезок [AB]: точки между A и B + сами концы. Луч [OA): точки по одну сторону от начала (начало принадлежит лучу). Прямая (AB): бесконечна в обе стороны.
- Длина отрезка > 0; за единицу длины можно принять любой отрезок (1-я аксиома отрезков).
- AC + CB = AB для точки C на отрезке AB (2-я аксиома отрезков).
- От начала луча отрезок заданной длины откладывается только одним способом (3-я аксиома отрезков).
- Единицы длины: мм, см, м, км; 1 м = 100 см = 1000 мм, 1 км = 1000 м.
До введения метра в XVIII веке единицами длины часто служили части тела — локоть, фут, пядь. Это работало именно благодаря первой аксиоме отрезков: за единицу длины можно принять любой отрезок, лишь бы использовать его последовательно.
Слово «отрезок» в других языках нередко связано со словом «резать» — отрезок будто «отрезан» от бесконечной прямой с двух сторон, в отличие от луча, отрезанного только с одной.
Сформулируй вторую аксиому прямой.
Из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
Ученик рассуждает: «У отрезка бесконечно много точек — значит, и концов у него тоже много». Прав ли он?