Какие дуги равны согласно теореме о параллельных хордах?

Дуги, заключённые между этими хордами

Сумма этих дуг всегда равна $360^\circ$

Только те дуги, которые проходят через центр

Дуги, которые стягиваются самими хордами

При каком условии диаметр окружности, делящий хорду пополам, будет ей перпендикулярен?

Если хорда не является диаметром

Только если хорда является касательной

Если хорда параллельна другой хорде

Если хорда равна радиусу

Почему треугольник $AOB$ (где $O$ — центр, а $A$ и $B$ — концы хорды) является равнобедренным?

Так как $OA$ и $OB$ — радиусы одной окружности

Так как хорда $AB$ всегда равна радиусу

Потому что диаметр всегда перпендикулярен хорде

Из-за параллельности хорды и касательной

Согласно источнику, почему обратная теорема «Равные хорды стягивают равные дуги» требует осторожности в формулировке?

Потому что любая хорда стягивает две разные дуги

Потому что диаметр — это тоже хорда

Потому что дуги измеряются в сантиметрах, а хорды в градусах

Потому что хорды могут не пересекаться

Какое утверждение о взаимно-обратных теоремах верно согласно тексту?

Обратные теоремы существуют только в геометрии

Если прямая теорема верна, то обратная верна всегда

Обратная теорема — это теорема с отрицанием условия

Что можно утверждать о дугах $\smile AC$ и $\smile BD$, если хорды $AB$ и $CD$ параллельны?

$\smile AC + \smile BD = 180^{\circ}$

Какое дополнительное условие необходимо для справедливости теоремы: «Если диаметр делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен»?

Хорда не должна быть диаметром

Хорда должна быть параллельна касательной

Хорда должна быть равна радиусу

Диаметр должен быть больше хорды

При доказательстве теоремы о равенстве дуг между параллельными хордами $AB \parallel CD$ используется вспомогательная хорда $BC$. Какие углы при этом равны?

Накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$

Вертикальные углы

Если в окружности $\smile AB = \smile CD$, какой вывод можно сделать о хордах $AB$ и $CD$?

Хорды равны ($AB = CD$)

Хорды являются диаметрами

Хорды перпендикулярны

Хорды параллельны ($AB \parallel CD$)

Почему утверждение «Если сумма двух углов равна $180^{\circ}$, то углы смежные» приводится в тексте как неверное?

Углы могут не иметь общей стороны или вершины

Сумма смежных углов не всегда равна $180^{\circ}$

Углы должны быть обязательно тупыми

Это утверждение верно только для треугольников

В равнобедренном треугольнике $AOB$, где $OA$ и $OB$ — радиусы, чем является отрезок $OE$, если он перпендикулярен хорде $AB$?

Высотой и медианой

Только касательной

Только биссектрисой внешнего угла

Диаметром окружности

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей

Хорды и дуги

Четыре теоремы о хордах и дугах: угол между касательной и хордой равен половине дуги; диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам (и наоборот); равные дуги стягивают равные хорды; дуги между параллельными хордами равны. Заодно разбираемся, что такое обратная теорема и почему её нельзя получать «автоматически».

4 частей · 40 минсреднийчитаешь как гость

Хорды и дуги. Вписанная и описанная окружности треугольника | Геометрия 8 класс · глава 1 из 523:28

00:00 / 23:28на площадке

Части видео

23:28

00:001Хорды и дуги
03:112Окружность, вписанная в треугольник
05:263Окружность, описанная около треугольника
08:454Решаем задачи (окружность)
14:455Подведём итоги (окружность)

Возьми вписанный угол и начни поворачивать одну его сторону вокруг вершины, пока она не ляжет на окружность касательной. Угол перестал быть вписанным — а правило «половина дуги» продолжает работать как ни в чём не бывало. Почему? И какие ещё «парные» факты про хорды и дуги работают в обе стороны, а какие — только в одну?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

После урока ты сможешь

Находить угол между касательной и хордой по дуге (и дугу по углу), опираясь на теорему $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$ .
Применять пару взаимно-обратных теорем о диаметре и хорде: перпендикулярный диаметр делит хорду пополам, делящий пополам — перпендикулярен.
Объяснять, что такое обратная теорема, приводить пример неверной обратной и использовать теоремы о равных дугах и параллельных хордах в задачах.

Часть 1 · 12 мин

Угол между касательной и хордой

Половина дуги — как у вписанного угла

Пусть прямая $MN$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ . Проведём хорду $AB$ . Получилось два угла — $\angle MAB$ и $\angle NAB$ ; каждый из них называют углом между касательной и хордой. Один острый, другой тупой, и внутри каждого лежит своя дуга окружности.

Окружность с центром O, касательная MN в точке A, хорда AB — Рис. 1.29. Касательная $MN$ в точке $A$ и хорда $AB$ : два угла между касательной и хордой

Формула

Теорема об угле между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла.

$\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$

Ассоциация

Как понять и запомнить

Это тот же закон, что и у вписанного угла: вписанный угол «съедает» половину дуги, на которую опирается. Касательная — предельный случай: вторая сторона вписанного угла повернулась так, что вторая точка пересечения слилась с вершиной. Сторона стала касательной, а правило «половина дуги» осталось.

Зацепки: КАСАтельная касается окружности, а угол с хордой берёт половину дуги, заключённой внутри угла. И числом: угол между касательной и хордой всегда берёт ровно половину дуги: дуга пополам — это угол. Формульная зацепка: $\angle = \frac{\smile}{2}$ — дуга наверху, двойка внизу; забыл двойку — получил центральный угол, а не угол с касательной.

Почему так. Разбираем два случая.

Случай 1: хорда $AB$ — диаметр. Тогда дуги внутри углов $MAB$ и $NAB$ — полуокружности по $180^\circ$ . Радиус $OA$ перпендикулярен касательной (радиус, проведённый в точку касания), значит $\angle NAB = 90^\circ = \frac{1}{2}\cdot 180^\circ$ . Сходится.

Окружность с центром O, касательная MN в точке A, диаметр AB — Рис. 1.30. Хорда — диаметр: угол прямой, дуга — полуокружность

Случай 2: хорда не диаметр. Проведём радиус $OA \perp MN$ . Обозначим центральный угол $\angle AOB = x$ , тогда $\smile AB = x$ . Треугольник $AOB$ равнобедренный ( $OA = OB$ — радиусы), поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2}(180^\circ - x) = 90^\circ - \frac{x}{2}$ . Острый угол между касательной и хордой: $\angle NAB = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - (90^\circ - \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$ . То есть $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$ . Для тупого угла $MAB$ рассуждение такое же.

Окружность с центром O, касательная MN, треугольник OAB с углом x — Рис. 1.31. Равнобедренный треугольник $OAB$ с центральным углом $x$ — ключ к доказательству

Хорда

AB

равна радиусу окружности. Какие углы образует хорда

AB

с касательной в точке

A

Проведём радиусы $OA$ и $OB$ . Раз $AB = OA = OB$ , треугольник $AOB$ равносторонний, и центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$ .
Значит, меньшая дуга $\smile AB = 60^\circ$ , а большая — $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ .
Острый угол между касательной и хордой — половина меньшей дуги: $\frac{1}{2}\cdot 60^\circ = 30^\circ$ . Тупой — половина большей: $\frac{1}{2}\cdot 300^\circ = 150^\circ$ .
Проверка: $30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$ — углы смежные, всё сходится.

Прямая

a

касается окружности с центром

O

в точке

C

. Хорда

DC

образует с касательной угол

72^\circ

. Найди

\angle ODC

Угол между касательной и хордой — половина дуги $DC$ , значит $\smile DC = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ$ , и центральный угол $\angle DOC = 144^\circ$ .
Треугольник $ODC$ равнобедренный ( $OD = OC$ ), углы при основании равны: $\angle ODC = \frac{1}{2}(180^\circ - 144^\circ) = 18^\circ$ .
Короткий путь: $\angle ODC = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$ — это ровно та формула $\angle OAB = 90^\circ - \frac{x}{2}$ из доказательства.

Неверно

Угол между касательной и хордой равен дуге, заключённой внутри него.

Верно

Половине дуги. Целую дугу «съедает» только центральный угол; вписанный угол и угол между касательной и хордой берут половину.

Прикинь: угол между касательной и хордой равен $45^\circ$ . Какая дуга заключена внутри него?

показать

$90^\circ$ — вдвое больше угла.

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Как измеряется угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания?

1 из 3

Часть 2 · 10 мин

Диаметр и хорда: теорема и обратная

Что значит «обратная теорема» и когда она верна

Как найти центр круглой тарелки или спила бревна, если он ничем не отмечен? Циркуля нет, есть только линейка и угольник. Ответ прячется в теореме, которая на первый взгляд про совсем другое — про диаметр и хорду.

Правило

Теорема

Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Если $CD$ — диаметр окружности и $CD \perp AB$ , то $AE = BE$ (где $E$ — точка пересечения $CD$ и $AB$ ).

Окружность с центром O, диаметр CD, хорда AB, треугольник AOB, перпендикуляр OE к хорде — Рис. 1.32. Диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$ ; $OE$ — высота равнобедренного треугольника $AOB$

Почему так. Если хорда сама диаметр — очевидно: центр делит диаметр пополам. Иначе проведём радиусы $OA$ и $OB$ : треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$ . Отрезок $OE$ перпендикулярен основанию по условию — значит, это высота, а в равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. Поэтому $AE = BE$ .

Весь секрет хорд — в этом равнобедренном треугольнике «два радиуса + хорда». Почти каждая задача про хорду начинается с того, что его проводят.

Определение

Прямая и обратная теоремы

Если в теореме поменять местами условие и заключение, получим обратную теорему. Пример: «В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является высотой» → обратная: «Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный».

Не всякая теорема имеет верную обратную. «Сумма смежных углов равна $180^\circ$ » → обратная «Если сумма двух углов равна $180^\circ$ , то углы смежные» неверна: на рис. 1.32 $\angle AEO + \angle BED = 180^\circ$ , но эти углы не смежные. Когда верны и прямая, и обратная, их называют взаимно-обратными.

Правило

Обратная теорема (верная)

Диаметр окружности, делящий хорду, не являющуюся диаметром, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Доказательство — тем же треугольником $AOB$ : если $E$ — середина $AB$ , то $OE$ — медиана равнобедренного треугольника, значит и высота, то есть $OE \perp AB$ . Оговорка «не являющуюся диаметром» обязательна: два диаметра делят друг друга пополам в центре, но перпендикулярны не всегда.

Где это встречается. Вот и ответ про тарелку: приложи линейку к краю так, чтобы она пересекла круг, — получилась хорда. Отметь её середину и угольником проведи через неё перпендикуляр: по обратной теореме на нём лежит диаметр, а значит и центр. Проведи вторую хорду в другом месте и повтори — два перпендикуляра пересекутся ровно в центре. Так размечают центр заготовки токари и так же можно найти центр любого круглого предмета дома.

Ассоциация

Как понять и запомнить

Диаметр и хорда — как замок и ключ: подходят друг к другу с двух сторон. Поставил диаметр перпендикулярно — он попал точно в середину хорды; провёл диаметр через середину — он встал перпендикулярно. Это редкий случай, когда обе стороны «замка» работают.

Зацепка-самопроверка: диаметр и хорда проверяют друг друга: перпендикуляр к хорде делит её пополам, а деление пополам возвращает перпендикулярность.

Хорда

MN

пересекает диаметр

AB = 16

см в точке

K

\angle AKM = 150^\circ

, расстояние от центра до хорды

2

см. На какие отрезки хорда разделила диаметр?

Расстояние от центра $O$ до хорды — это перпендикуляр $OE \perp MN$ , $OE = 2$ см. Он лежит на диаметре, перпендикулярном $MN$ (это другой диаметр, не $AB$ ), и по теореме делит хорду $MN$ пополам; нам нужен только сам отрезок $OE$ .
Угол между хордой и диаметром $AB$ : $\angle OKE = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (смежный с $\angle AKM$ ).
В прямоугольном треугольнике $OKE$ катет $OE = 2$ лежит против угла $30^\circ$ , значит гипотенуза $OK = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Радиус $OA = OB = 8$ см. Отрезки диаметра: $AK = 8 - 4 = 4$ см и $KB = 8 + 4 = 12$ см (или наоборот, смотря с какой стороны от центра точка $K$ ).

Неверно

«Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен ей» — верно для любой хорды.

Верно

Неверно для хорды-диаметра: два диаметра проходят через середины друг друга (центр), но перпендикулярны только в частном случае. Поэтому в обратной теореме стоит оговорка «хорда, не являющаяся диаметром».

Хорда пересекает диаметр в точке $M$ и делит его на отрезки $18$ см и $12$ см. Чему равно расстояние от центра до точки $M$ ?

показать

Диаметр $30$ см, радиус $15$ см; $OM = 18 - 15 = 3$ см.

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Если диаметр окружности $CD$ перпендикулярен хорде $AB$ , то какое утверждение верно?

1 из 3

Часть 3 · 10 мин

Равные дуги, равные хорды, параллельные хорды

Две теоремы — и одна обратная, которая не работает

Две одинаковые дуги — обязательно ли одинаковы их хорды? А наоборот: одинаковые хорды — одинаковые дуги? Кажется, что оба ответа «да», но один из них — ловушка. И ещё вопрос: если две хорды параллельны, что общего у двух «боковых» дуг между ними?

Правило

Теорема

Если дуги равны, то равны и стягивающие их хорды.

Если $\smile AB = \smile CD$ , то $AB = CD$ .

Окружность с центром O, две хорды AB и CD, радиусы OA, OB, OC, OD — Рис. 1.33. Равные дуги $AB$ и $CD$ — равные треугольники $AOB$ и $COD$ — равные хорды

Почему так. Проведём радиусы $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ . Равные дуги — это равные центральные углы: $\angle AOB = \angle COD$ . Все четыре радиуса равны $R$ . Значит, треугольники $AOB$ и $COD$ равны по первому признаку (две стороны и угол между ними), откуда $AB = CD$ .

А вот обратная — «равные хорды стягивают равные дуги» — вообще говоря, неверна. Подумай почему: каждая хорда стягивает две дуги, большую и меньшую. Равные хорды дают равные меньшие дуги и равные большие, но если взять меньшую дугу одной хорды и большую другой — они не равны. Формулировка «дуги» без уточнения ломается.

Ассоциация

Как понять и запомнить: дуги и хорды

Хорда — тетива, дуга — лук. Одинаково натянутые луки дают одинаковые тетивы. Обратно — с оговоркой: у одной тетивы два «лука» (маленький и большой, по разные стороны), поэтому «равные тетивы — равные луки» верно, только если сравнивать луки одного размера.

Зацепка (ритм): Равна дуга — равна хорда: равные дуги стягивают равные хорды.

Правило

Теорема

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Если $AB \parallel CD$ , то $\smile AC = \smile BD$ .

Окружность с параллельными хордами AB и CD, хорда BC и углы 1, 2 — Рис. 1.35. Параллельные хорды $AB$ и $CD$ , вспомогательная хорда $BC$ : углы 1 и 2 — накрест лежащие и вписанные

Почему так. Проведём хорду $BC$ . Углы $1$ и $2$ — накрест лежащие при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $BC$ , поэтому равны. Но эти же углы — вписанные: угол $1$ опирается на дугу $AC$ , угол $2$ — на дугу $BD$ . Равные вписанные углы опираются на равные дуги, значит $\smile AC = \smile BD$ .

Ассоциация

Как понять и запомнить: параллельные хорды

Две параллельные хорды вырезают из окружности «пояс», и его боковые стороны — дуги — одинаковые, как ремешки у сумки: симметрия относительно диаметра, перпендикулярного обеим хордам.

Зацепка: ПАРАллельные хорды идут парой, поэтому дуги между ними тоже равны.

AB

CD

— диаметры окружности с центром

O

. Докажи, что хорды

AC

BD

равны и что

AC \parallel BD

Углы $AOC$ и $BOD$ — вертикальные, значит равны. Центральный угол равен дуге: $\smile AC = \smile BD$ .
Равные дуги стягивают равные хорды: $AC = BD$ .
Треугольники $AOC$ и $BOD$ равны (две стороны — радиусы — и угол между ними), поэтому $\angle OAC = \angle OBD$ . Это накрест лежащие углы при прямых $AC$ , $BD$ и секущей $AB$ — значит, $AC \parallel BD$ .

В окружности $AB \parallel CD$ и $\smile AC = 40^\circ$ . Чему равна дуга $BD$ ?

показать

$40^\circ$ — дуги между параллельными хордами равны.

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Что можно сказать о хордах, если стягиваемые ими дуги равны?

1 из 2

Часть 4 · 8 мин

Собираем всё вместе

Как выбрать нужную теорему в задаче

Четыре теоремы параграфа и их обратные
Теорема	Обратная	Верна ли обратная
Угол между касательной и хордой $= \frac{1}{2}$ дуги внутри него	—	здесь обратной не ставят: это правило измерения
Диаметр $\perp$ хорде $\Rightarrow$ делит её пополам	Диаметр делит хорду (не диаметр) пополам $\Rightarrow$ перпендикулярен ей	да — взаимно-обратные
Равные дуги $\Rightarrow$ равные хорды	Равные хорды $\Rightarrow$ равные дуги	вообще говоря, нет: у хорды две дуги
Хорды параллельны $\Rightarrow$ дуги между ними равны	Дуги между хордами равны $\Rightarrow$ хорды параллельны	в учебнике не доказывается — не пользуйся без доказательства

Правило

Приём: с чего начать задачу про хорду

Увидел хорду — проведи два радиуса к её концам: появился равнобедренный треугольник $AOB$ , а с ним равные углы при основании и высота-медиана.
Увидел касательную — проведи радиус в точку касания: он перпендикулярен касательной.
Нужен угол — переведи всё в дуги: центральный угол равен дуге, вписанный и угол с касательной — половине.

Радиус

OM

перпендикулярен хорде

AB

и пересекает её в точке

E

, причём

OE = EM

. Докажи, что

\triangle AMO = \triangle BMO

, и найди периметр четырёхугольника

AMBO

, если

OM = 4{,}5

$OM \perp AB$ — радиус лежит на диаметре, перпендикулярном хорде, значит $AE = EB$ . Вместе с $OE = EM$ получаем: диагонали четырёхугольника $AMBO$ делятся точкой $E$ пополам и перпендикулярны.
Треугольники $AMO$ и $BMO$ : $AO = BO$ (радиусы), $AM = BM$ (точка $M$ на серединном перпендикуляре к $AB$ ), сторона $MO$ общая — равны по трём сторонам.
$OE = EM = \frac{OM}{2} = 2{,}25$ . В прямоугольном треугольнике $AEO$ : $AE$ и $OE$ — катеты, $AO = OM = 4{,}5$ — гипотенуза; $OE = \frac{1}{2}AO$ , значит $\angle OAE = 30^\circ$ и $\angle AOE = 60^\circ$ .
В треугольнике $AOM$ : $AO = OM$ (радиусы) и $\angle AOM = 60^\circ$ — равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ равносторонний, значит $AM = 4{,}5$ . Аналогично $BM = 4{,}5$ .
Периметр $AMBO = AM + MB + BO + OA = 4 \cdot 4{,}5 = 18$ .

Кстати, про ОГЭ

Задание 24 ОГЭ — доказательство: «около четырёхугольника описана окружность, продолжения сторон пересекаются в точке — докажите подобие треугольников». Инструмент там ровно этот: перевести углы в дуги и обратно (вписанный угол — половина дуги) и найти равные углы. Сейчас важно освоить сам переход «угол ↔ дуга»; вписанные четырёхугольники будут дальше.

Хорда видна из центра под углом $140^\circ$ . Чему равен угол между этой хордой и касательной, проведённой через её конец (острый)?

показать

$70^\circ$ : дуга внутри острого угла равна центральному углу $140^\circ$ , угол с касательной — её половина.

Проверь себя

мини-тест части 4 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

В доказательстве теоремы о параллельных хордах используются накрест лежащие углы. На какие дуги опираются эти равные вписанные углы?

1 из 2

Правило продолжает работать, потому что и вписанный угол, и угол между касательной и хордой измеряются одним и тем же способом — половиной дуги, заключённой внутри угла. Касательная — это предельное положение секущей: когда вторая сторона вписанного угла поворачивается, вторая точка пересечения с окружностью подходит к вершине и наконец совпадает с ней — сторона касается окружности. Теорема доказывается независимо, через равнобедренный треугольник $AOB$ и радиус, перпендикулярный касательной, но результат тот же: $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$ . А про «парные» факты: диаметр и хорда работают в обе стороны (перпендикулярен ⇔ делит пополам — взаимно-обратные теоремы), а «равные дуги ⇒ равные хорды» обратно не переворачивается: у каждой хорды две дуги, большая и меньшая, и без уточнения обратное утверждение ложно.

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Угол между касательной и хордой из точки касания равен половине дуги внутри угла: $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$ (как у вписанного угла).
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам; диаметр, делящий хорду (не диаметр) пополам, перпендикулярен ей — взаимно-обратные теоремы.
Обратная теорема — условие и заключение поменяны местами; она верна не всегда (сумма углов $180^\circ$ не значит, что углы смежные).
Равные дуги стягивают равные хорды; обратное без оговорки неверно — у хорды две дуги.
Дуги между параллельными хордами равны. Ключ ко всем задачам про хорды — равнобедренный треугольник «два радиуса + хорда».

Термины урока

Угол между касательной и хордой

Угол, образованный касательной и хордой, проведённой из точки касания; измеряется половиной дуги, заключённой внутри него.

Обратная теорема

Теорема, полученная из данной перестановкой условия и заключения; верна не всегда.

Взаимно-обратные теоремы

Пара теорем, прямая и обратная, обе из которых верны.

Хорда, стягивающая дугу

Хорда, концы которой совпадают с концами дуги; равные дуги стягиваются равными хордами.

Шпаргалка

Углы и дуги

$\angle NAB=\frac{1}{2}\smile AB$: угол между касательной и хордой
Острый и тупой угол: в сумме дают $180^\circ$

Диаметр и хорда

Диаметр ⊥ хорде: делит хорду пополам
Диаметр через середину хорды: перпендикулярен ей (обратная теорема)

Дуги и хорды

Равные дуги: стягивают равные хорды
Равные хорды: обратное неверно, у хорды две дуги
Параллельные хорды: отсекают равные дуги между собой

Приёмы

Видишь хорду: проведи два радиуса — равнобедренный треугольник
Видишь касательную: радиус в точку касания ей перпендикулярен
Видишь угол: переводи его в дугу

Секретный факт

Касательная — это «секущая, у которой две точки пересечения слились в одну». Поэтому угол между касательной и хордой подчиняется тому же правилу, что и вписанный угол: половина дуги.

Секретный факт

Фраза «равные хорды стягивают равные дуги» ловит на экзамене многих: у каждой хорды две дуги — большая и меньшая, — и без уточнения утверждение ложно.

Повторялка

осталось ещё 50 · круг ≈ 13 мин

Вопрос1/50

Как измеряется угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания?

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/50

Половиной дуги, заключённой внутри этого угла.

отметь: знал или нет

выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

6 заданий по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202716

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 1961 балл

ОГЭ 202724

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 24 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202616

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

Задание ОГЭ 2026 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 361 балл

ОГЭ 202625

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$ . Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ .

Задание ОГЭ 2026 года, номер 25 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202523

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 6$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Задание ОГЭ 2025 года, номер 23 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202525

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ .