Решаем задачи (окружность)

$OA = OB$ — радиусы, треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$.

Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = 20^\circ$.

Треугольник $MON$ равнобедренный ($OM = ON$), значит $\angle ONM = \angle OMN = 55^\circ$.

$\angle MON = 180^\circ - 2 \cdot 55^\circ = 70^\circ$.

Проведём радиус $OC$. В треугольнике $AOC$: $OA = OC = r$ (радиусы) и $AC = r$ по условию — треугольник равносторонний.

Все его углы по $60^\circ$, в том числе $\angle CAB = \angle CAO = 60^\circ$ (точка $O$ лежит на диаметре $AB$).

Пусть $AB = CD$, а $OE \perp AB$ и $OF \perp CD$ — расстояния от центра до хорд. Перпендикуляр из центра лежит на диаметре, перпендикулярном хорде, значит делит её пополам: $AE = \frac{AB}{2}$, $CF = \frac{CD}{2}$, и $AE = CF$.

Прямоугольные треугольники $AEO$ и $CFO$: гипотенузы $OA = OC = r$, катеты $AE = CF$ — равны по гипотенузе и катету.

Значит, $OE = OF$: равные хорды равноудалены от центра. Обратное («равноудалённые хорды равны») доказывается тем же путём в обратном порядке — здесь обратная теорема верна.

$OC \perp AC$ (радиус в точку касания), треугольник $AOC$ прямоугольный: $\angle OAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.

Прямая $AO$ образует равные углы с касательными: $\angle BAO = \angle OAC = 20^\circ$.

Радиусы в точки касания перпендикулярны обеим касательным, значит лежат на одной прямой — это диаметр.

Расстояние между касательными равно диаметру: $2 \cdot 3 = 6$ см.

Внешнее касание: $d = 10 + 15 = 25$ см. Внутреннее: $d = 15 - 10 = 5$ см.

Для радиусов $40$ и $35$: внешнее касание требует $d = 75$, внутреннее — $d = 5$. Ни то ни другое не равно $70$ — касаться не могут (при $d = 70$ они пересекаются).

При внешнем касании расстояние между центрами — сумма радиусов: $AB = 1 + 3 = 4$, $BC = 3 + 7 = 10$, $AC = 1 + 7 = 8$.

Периметр $= 4 + 10 + 8 = 22$ см. Заметь: это удвоенная сумма радиусов, $2(1 + 3 + 7) = 22$ — каждый радиус вошёл в две стороны.

Пусть вписанный угол равен $x$. Он равен половине дуги $MN$, а центральный — всей дуге, значит центральный $= 2x$.

По условию $2x - x = 37^\circ$, откуда $x = 37^\circ$: вписанный угол $37^\circ$, центральный $74^\circ$.

Вся окружность $360^\circ$ делится на $2 + 3 + 4 = 9$ частей по $40^\circ$: дуги $80^\circ$, $120^\circ$ и $160^\circ$.

Центральный угол на меньшую дугу равен ей: $80^\circ$.

Каждый угол треугольника — вписанный, опирается на дугу, противолежащую вершине: углы $\frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$, $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$, $\frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$. Проверка: $40 + 60 + 80 = 180$. Все углы острые — треугольник остроугольный.

Треугольник $ODC$ равнобедренный ($OD = OC$): $\angle OCD = \angle ODC = 24^\circ$.

Радиус $OC \perp a$. Угол между касательной и хордой (острый) $= 90^\circ - \angle OCD = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$.

Проверка через дугу: центральный $\angle DOC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$, дуга $DC = 132^\circ$, половина — $66^\circ$. Сходится.

Углы треугольника: $90^\circ$, $44^\circ$ и $46^\circ$. Каждый — вписанный, опирается на дугу, противолежащую вершине, и равен её половине.

Дуги вдвое больше углов: $180^\circ$ (против прямого угла — полуокружность, гипотенуза — диаметр), $88^\circ$ и $92^\circ$. Проверка: $180 + 88 + 92 = 360$.

Вершина $M$ внутри круга: угол равен полусумме дуги внутри него ($AC = 110^\circ$) и дуги внутри вертикального угла ($BD = 150^\circ$): $\angle AMC = \frac{110^\circ + 150^\circ}{2} = 130^\circ$.

Проверка: смежный угол $AMD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$, а оставшиеся дуги $AD + CB = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$, полусумма $50^\circ$. Сходится.

Вершина вне окружности: полуразность дуг внутри угла: $\frac{150^\circ - 40^\circ}{2} = 55^\circ$.

Контрпример: хорда сама является диаметром. Любой другой диаметр проходит через её середину (центр), но перпендикулярен ей только один.

Исправленная формулировка: «Диаметр, проведённый через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде». Для такой хорды всё работает: $OE$ — медиана равнобедренного треугольника $AOB$, значит и высота.