Окружность, вписанная в треугольник

Учебное пособие: Окружность, вписанная в треугольник

1. Теоретический материал и ключевые концепции

Биссектрисы треугольника

Теорема о пересечении биссектрис

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляры $OD_1$, $OD_2$ и $OD_3$ на стороны треугольника $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
3. Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, по свойству биссектрисы она равноудалена от сторон угла $A$, то есть $OD_3 = OD_1$.
4. Аналогично, так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон угла $B$, то есть $OD_2 = OD_1$.
5. Из равенств $OD_3 = OD_1$ и $OD_2 = OD_1$ следует, что $OD_3 = OD_2$.
6. Равенство $OD_3 = OD_2$ означает, что точка $O$ равноудалена от сторон угла $C$, а значит, принадлежит биссектрисе угла $C$ ($CC_1$).
7. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Окружность, вписанная в треугольник

Основные определения

• Вписанная в треугольник окружность — окружность, если все стороны треугольника касаются её.
• Описанный около окружности треугольник — треугольник, все стороны которого касаются окружности.

Теорема о вписанной окружности

В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

1. Существование:

• Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис произвольного треугольника $ABC$.
• Проведём из точки $O$ перпендикуляры $OM$, $ON$ и $OP$ к сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисах углов треугольника, она равноудалена от его сторон: $OM = ON = OP = r$.
• Окружность с центром $O$ и радиусом $r = OP$ проходит через точки $M$, $N$ и $P$.
• Стороны треугольника $ABC$ имеют с этой окружностью по одной общей точке и перпендикулярны радиусам, проведённым в эти точки ($OM \perp AB$, $ON \perp BC$, $OP \perp AC$).
• Следовательно, стороны треугольника касаются данной окружности в точках $M$, $N$ и $P$, а окружность с центром $O$ и радиусом $OP$ является вписанной в треугольник.

2. Единственность:

• Если окружность касается всех сторон треугольника $ABC$, то её центром может быть только точка пересечения биссектрис треугольника, а радиусом — расстояние от центра $O$ до сторон треугольника ($OP$).
• Поскольку точка пересечения биссектрис и расстояние от нее до сторон определяются однозначно, вписанная в треугольник окружность является единственной.

Расположение центра вписанной окружности

Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. Эта точка всегда находится строго внутри треугольника.

Свойства отрезков касательных и базовые формулы

Если окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (где $A_1$ лежит на $BC$, $B_1$ — на $AC$, $C_1$ — на $AB$), то отрезки касательных, проведённые из одной вершины, равны:

• $AC_1 = AB_1$
• $BC_1 = BA_1$
• $CA_1 = CB_1$

Формула для вычисления длины отрезка касательной

Длина отрезка касательной от вершины $A$ до точки касания $B_1$ (или $C_1$) выражается через стороны треугольника:

$AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$

Вывод формулы:

1. Запишем сторону $AC$ как сумму отрезков: $AC = AB_1 + CB_1 \implies AB_1 = AC - CB_1$.
2. Заменим $CB_1$ на равный отрезок $CA_1$: $AB_1 = AC - CA_1$.
3. Учитывая, что $CA_1 = BC - BA_1$, подставим это выражение: $AB_1 = AC - (BC - BA_1) = AC - BC + BA_1$.
4. Заменим $BA_1$ на равный отрезок $BC_1$: $AB_1 = AC - BC + BC_1$.
5. Поскольку $BC_1 = AB - AC_1$, получаем: $AB_1 = AC - BC + AB - AC_1$.
6. Так как $AC_1 = AB_1$, подставим $AB_1$ вместо $AC_1$: $AB_1 = AC - BC + AB - AB_1$
7. Перенесём $AB_1$ в левую часть: $2AB_1 = AB + AC - BC$ $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$

2. Вопросы и задания для самопроверки (с кратким ответом)

1. Вопрос: Где расположен центр окружности, вписанной в треугольник?

• Ответ: В точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

2. Вопрос: Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне треугольника?

• Ответ: Нет, не может. Точка пересечения биссектрис треугольника всегда находится внутри него.

3. Вопрос: Какая окружность называется вписанной в треугольник?

• Ответ: Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны этого треугольника касаются данной окружности.

4. Вопрос: Какой треугольник называется описанным около окружности?

• Ответ: Треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

5. Вопрос: Чему равны расстояния от центра вписанной окружности до сторон треугольника?

• Ответ: Эти расстояния равны между собой и равны радиусу вписанной окружности ($OM = ON = OP = r$).

6. Вопрос: Какие отрезки касательных равны между собой при вписании окружности в треугольник $ABC$ с точками касания $A_1 \in BC$, $B_1 \in AC$, $C_1 \in AB$?

• Ответ: $AC_1 = AB_1$, $BC_1 = BA_1$, $CA_1 = CB_1$.

7. Вопрос: Напишите формулу для нахождения длины отрезка $AB_1$ через стороны треугольника $AB$, $AC$ и $BC$.

• Ответ: $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$.

3. Вопросы и темы для развернутых ответов и эссе

1. Доказательство теоремы о пересечении биссектрис треугольника:

• Задание: Подробно опишите логическую цепочку доказательства того, что все три биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке. Поясните, какое ключевое свойство биссектрисы угла используется на каждом шаге.

2. Существование и единственность вписанной окружности:

• Задание: Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в треугольник. Раскройте две части её доказательства: сначала докажите возможность построения такой окружности (существование), а затем докажите, что замена центра или радиуса невозможна (единственность).

3. Алгебраический вывод свойства отрезков касательных:

• Задание: Пошагово выведите формулу $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$. Объясните, каким геометрическим правилом обусловлено подставление равных отрезков ($AC_1 = AB_1$, $BC_1 = BA_1$, $CA_1 = CB_1$).

4. Анализ геометрии равнобедренного треугольника с вписанной окружностью:

• Задание: Рассмотрите равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и центром вписанной окружности $O$. Точки касания со сторонами — $M$, $N$, $P$. Опишите, какие равные и равнобедненные треугольники образуются на чертеже, и обоснуйте эти равенства с помощью свойств биссектрис и отрезков касательных.

4. Глоссарий терминов

• Биссектриса треугольника — Луч (или отрезок), делящий угол треугольника пополам. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
• Вписанная в треугольник окружность — Окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех трёх его сторон.
• Описанный треугольник — Треугольник, все стороны которого являются касательными к некоторой окружности.
• Центр вписанной окружности ($O$) — Точка пересечения всех трёх биссектрис треугольника; равноудалена от всех его сторон.
• Радиус вписанной окружности ($r$) — Длина перпендикуляра, опущенного из центра вписанной окружности на любую из сторон треугольника ($r = OM = ON = OP$).
• Точки касания ($M, N, P$ / $A_1, B_1, C_1$) — Единственные общие точки между сторонами треугольника и вписанной окружностью, в которых радиус окружности перпендикулярен соответствующей стороне.
• Отрезки касательных — Отрезки от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности. Отрезки, выходящие из одной вершины, равны между собой.