Окружность, вписанная в треугольник
Вписанная окружность — та, которой касаются все три стороны треугольника. Доказываем, что три биссектрисы пересекаются в одной точке, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну, находим её центр и радиус и выводим формулу для отрезка от вершины до точки касания.
Хорды и дуги. Вписанная и описанная окружности треугольника | Геометрия 8 класс · глава 2 из 523:28- 00:001Хорды и дуги
- 03:112Окружность, вписанная в треугольник
- 05:263Окружность, описанная около треугольника
- 08:454Решаем задачи (окружность)
- 14:455Подведём итоги (окружность)
Из треугольного куска фанеры нужно вырезать самый большой круг, какой только влезет. Куда поставить ножку циркуля и как узнать радиус — без подбора, одним построением? И почему у любого треугольника такая точка ровно одна?
Доказывать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, через свойство биссектрисы угла (равноудалённость от сторон).
Формулировать определение вписанной окружности и описанного треугольника и объяснять, почему центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, а радиус — расстояние до стороны.
Вычислять отрезки касательных от вершин до точек касания по формуле .
Три биссектрисы — одна точка
В любом треугольнике три биссектрисы. Две из них, конечно, пересекаются — они не параллельны. А вот то, что третья проходит через ту же самую точку, — уже не очевидно и требует доказательства. Именно эта точка и окажется центром «самого большого круга».
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Почему так. Пусть — точка пересечения биссектрис и . Опустим из перпендикуляры , , на стороны треугольника.
Точка лежит на биссектрисе угла — значит, по свойству биссектрисы она равноудалена от сторон этого угла: . Точно так же она на биссектрисе угла : . Отсюда — а это значит, что равноудалена от сторон угла , то есть лежит на биссектрисе угла . Все три биссектрисы прошли через одну точку.
Биссектриса — «дорожка», на которой ты одинаково далеко от двух стен угла. Стоишь на пересечении двух таких дорожек — значит, одинаково далеко сразу от всех трёх стен треугольника. А место, одинаково далёкое от третьей пары стен, — это и есть третья биссектриса: ты уже на ней.
Зацепка: О — одна общая точка, где пересеклись все биссектрисы; О же центр окружности.
Прикинь: точка лежит на биссектрисах углов и треугольника. Что можно сказать о её расстояниях до трёх сторон — и почему это сразу даёт третью биссектрису?
показать
Прикинь: точка лежит на биссектрисах углов и треугольника. Что можно сказать о её расстояниях до трёх сторон — и почему это сразу даёт третью биссектрису?
Все три расстояния равны (от биссектрисы — до и , от биссектрисы — до и ). Раз равны расстояния до и , точка равноудалена от сторон угла — лежит на его биссектрисе.
В тексте доказательства теоремы о биссектрисах упоминаются перпендикуляры , и . Что они доказывают?
Вписанная окружность: есть и единственная
Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. А треугольник в таком случае называется описанным около окружности.
Слова легко перепутать, поэтому смотри, кто внутри. Окружность сидит внутри треугольника и трогает каждую стену — она вписалась. Треугольник обнимает её снаружи своими сторонами — он её описал. Одна картинка, два названия с разных точек зрения.
Зацепки: ВПИСанная окружность вписалась внутрь треугольника и касается каждой его стороны. ОПИСанный треугольник описывает окружность своими сторонами: каждая сторона касается круга.
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Почему так — существование. Пусть — точка пересечения биссектрис. Проведём из неё перпендикуляры , , к сторонам , , . Точка на биссектрисах, значит равноудалена от сторон: . Окружность с центром и радиусом проходит через , , . Каждая сторона имеет с окружностью общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, — значит, касается её. Окружность вписана.
Единственность. Если какая-то окружность касается всех сторон, её центр равноудалён от сторон, то есть лежит на всех трёх биссектрисах — это точка , другой такой нет. А радиус равен расстоянию от до стороны. Центр один, радиус один — окружность одна.
Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.
— радиус равен расстоянию от центра до любой стороны (перпендикуляру в точку касания).
Радиус вписанной окружности — это «зазор» между центром и стеной, и он одинаков для всех трёх стен: иначе окружность одну стену протаранила бы, а до другой не дотянулась. Три точки касания — три одинаковых перпендикуляра.
Зацепки: Три точки касания — три одинаковых радиуса: . И: на один треугольник приходится ровно одна вписанная окружность: существование плюс единственность.
У треугольника есть и вторая «своя» окружность — описанная, которая проходит через вершины (ей посвящён следующий урок). Их постоянно путают, поэтому сразу положим рядом.
| Вписанная окружность | Описанная окружность | |
|---|---|---|
Как расположена | внутри треугольника, касается всех трёх сторон | снаружи, проходит через все три вершины |
Треугольник называется | описанным около окружности | вписанным в окружность |
Где центр | пересечение биссектрис | пересечение серединных перпендикуляров к сторонам |
Центр равноудалён от | сторон: | вершин: |
Положение центра | всегда внутри | внутри, на стороне или вне треугольника |
Как построить | две биссектрисы → центр; перпендикуляр к стороне → радиус | два серединных перпендикуляра → центр; отрезок до вершины → радиус |
Где применяют | самый большой круг внутри треугольника; отрезки касательных | окружность через три точки; прямоугольный треугольник — гипотенуза-диаметр |
Центр вписанной окружности — точка пересечения медиан (или высот).
Биссектрис. Центр должен быть на одинаковом расстоянии от всех сторон — а равноудалённость от сторон угла даёт именно биссектриса. Медианы и высоты этим свойством не обладают.
Может ли центр вписанной окружности оказаться вне треугольника?
показать
Может ли центр вписанной окружности оказаться вне треугольника?
Нет: он лежит на биссектрисах, а биссектриса угла треугольника проходит внутри него. Точка пересечения — всегда внутри.
Какая окружность по определению называется вписанной в треугольник?
Отрезки касательных: формула для задач
Пусть окружность, вписанная в треугольник , касается сторон в точках (на ), (на ) и (на ). Из каждой вершины к окружности идут две касательные, и их отрезки от вершины до точек касания равны: , , . На этом равенстве держится вся арифметика вписанной окружности.
Отрезок касательной из вершины равен полусумме сторон, выходящих из , минус половина противоположной стороны.
Периметр треугольника сложен из шести отрезков касательных — по два равных у каждой вершины. Возьми две стороны из вершины : в них отрезок входит дважды (как и как ), а всё остальное — это в точности сторона (два отрезка из и два из ). Вычел , поделил пополам — получил .
Зацепка-самопроверка: для сложи две стороны, вычти третью и обязательно раздели результат пополам: .
Отрезки касательных из одной точки равны: , , .
, откуда . Заменяем , а : получаем .
Теперь , а : .
Наконец : , то есть и .
По формуле: .
Отрезок — вторая касательная из той же вершины, значит .
Проверка через периметр: , и — та же формула в другой записи.
Треугольники и (и такие же пары у вершин и ): прямоугольные, общая гипотенуза , катеты — равны по гипотенузе и катету. Итого три пары равных прямоугольных треугольников у вершин.
Треугольники и : (равнобедренный), общая, (биссектриса) — равны по двум сторонам и углу между ними.
Равнобедренные: сам ; треугольник — в нём как половины равных углов при основании; и любой треугольник из двух радиусов, например или : .
Периметр треугольника , сторона . Чему равен отрезок касательной из вершины ?
показать
Периметр треугольника , сторона . Чему равен отрезок касательной из вершины ?
: сумма , минус , пополам.
Если окружность, вписанная в треугольник , касается сторон в точках , и , какое из равенств отрезков касательных будет верным?
Ножку циркуля надо поставить в точку пересечения биссектрис треугольника, а радиус взять равным расстоянию от этой точки до любой стороны — перпендикуляру. Такая окружность касается всех трёх сторон, то есть вписана в треугольник, и это самый большой круг, который в него влезает: любой круг побольше упёрся бы в какую-то сторону. Точка одна, потому что центр обязан быть на одинаковом расстоянии от всех сторон, а равноудалённость от сторон угла — это в точности биссектриса; три биссектрисы пересекаются в единственной точке. Отсюда и теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке: она равноудалена от всех трёх сторон.
Окружность вписана в треугольник, если все его стороны её касаются; треугольник тогда описан около окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну; её центр — точка пересечения биссектрис, радиус — расстояние до стороны.
Отрезки касательных из одной вершины равны; .
Центр вписанной окружности всегда внутри треугольника.
Окружность, которой касаются все стороны треугольника.
Треугольник, все стороны которого касаются окружности (окружность вписана в него).
Точка пересечения биссектрис треугольника; равноудалена от всех сторон.
Отрезки от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности; из одной вершины они равны.
радиус — перпендикуляр до стороны
полупериметр минус противоположная сторона
отрезки касательных из одной вершины
- Вписанная окружность
касается всех сторон треугольника
- Центр
точка пересечения биссектрис, всегда внутри
- Радиус
расстояние от центра до стороны
- Описанный треугольник
треугольник вокруг вписанной окружности
| Вписанная | Описанная | |
|---|---|---|
Касается/проходит через | стороны | вершины |
Центр на | биссектрисах | серединных перпендикулярах |
Где центр | всегда внутри | может быть снаружи |
Радиус — расстояние до | стороны | вершины |
Периметр описанного треугольника складывается из шести отрезков касательных — по два равных у каждой вершины. Поэтому отрезок из вершины равен полупериметру минус противоположная сторона.
Центр вписанной окружности никогда не выходит за пределы треугольника — в отличие от центра описанной, который в тупоугольном треугольнике оказывается снаружи.
Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Окружность, которой касаются все стороны этого треугольника.
Так это спрашивают на экзамене
демоверсии ФИПИНайдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.
Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и что продолжения сторон и четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что треугольники и подобны.
Касательные в точках и к окружности с центром в точке пересекаются под углом . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме проведена диагональ . Точка является центром окружности, вписанной в треугольник . Расстояния от точки до точки и прямых и соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма .
В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты: , . Найдите медиану этого треугольника.
Основание равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Какое условие должно выполняться, чтобы окружность считалась вписанной в треугольник?
Инфографика
