В чем главное отличие круга от окружности согласно определениям?

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, а окружность — только сама линия.

Окружность — это объемная фигура, а круг — плоская.

У круга есть диаметр, а у окружности есть только радиус.

Круг состоит из точек, не лежащих на одной прямой, а окружность — из точек на прямой.

Какая хорда в окружности является самой большой?

Любая хорда, не проходящая через центр

Если расстояние между центрами двух окружностей $p$ удовлетворяет условию $R - r < p < R + r$, сколько общих точек они имеют?

Бесконечно много точек

Для двух окружностей зафиксировано расстояние между центрами $p = R - r$ (при $R > r$). Какое это касание?

Окружности не имеют общих точек

Пересечение в двух точках

Даны две окружности с радиусами $R = 10$ и $r = 6$. Расстояние между их центрами $p = 15$. Как они расположены относительно друг друга?

Пересекаются в двух точках

Не имеют общих точек

Имеют одну общую точку (внутреннее касание)

Имеют одну общую точку (внешнее касание)

Что можно утверждать о трех произвольных точках, лежащих на одной окружности?

Они никогда не лежат на одной прямой.

Расстояние между любыми двумя из них равно радиусу.

Они всегда образуют диаметр.

Они лежат на одной прямой, если окружность большая.

В чем заключается главное отличие круга от окружности?

Круг — это часть плоскости (площадь), а окружность — это только граница (линия).

Окружность имеет радиус, а круг — нет.

Круг состоит из хорд, а окружность — из диаметров.

Между ними нет никакой разницы.

Если расстояние между центрами двух окружностей $p$ равно сумме их радиусов $R + r$, сколько общих точек они имеют?

Бесконечно много

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей

Окружность

Name: Окружность | Геометрия 8 класс
Uploaded: 2026-09-10T08:50:14.278Z
Duration: 1212 s
Description: Окружность и круг, их части — радиус, хорда, диаметр; как проверить, лежит ли точка в круге, и как по одному расстоянию между центрами узнать, пересекутся ли две окружности.

Окружность и круг, их части — радиус, хорда, диаметр; как проверить, лежит ли точка в круге, и как по одному расстоянию между центрами узнать, пересекутся ли две окружности.

3 частей · 25 минсреднийчитаешь как гость

Окружность | Геометрия 8 класс20:12

00:00 / 20:12на площадке

О чём видео

20:12 · одним куском

Окружность, круг и их части
Где лежит точка
Две окружности рядом

Крышка люка круглая, а не квадратная. Дело не в красоте: квадратную крышку можно уронить в собственный люк, а круглую — нет. Какое свойство окружности этому мешает?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

После урока ты сможешь

Различать окружность и круг и правильно называть их части: центр, радиус, хорду, диаметр
Определять положение точки относительно круга по расстоянию до центра
По радиусам и расстоянию между центрами определять взаимное расположение двух окружностей

Часть 1 · 9 мин

Окружность, круг и их части

Одна фраза определения — и всё остальное следует из неё

Возьмите верёвку, привяжите к колышку, натяните и обойдите вокруг. След, который останется на земле, и есть окружность. Важно, что верёвка всё время одной длины — именно это, а не «круглость», делает фигуру окружностью.

Определение

Окружность

Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).

Определение

Центр окружности

Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.

Окружность с отмеченным центром O, радиусом, диаметром BC и хордой AB

Теперь по деталям. Ваша верёвка от колышка до руки — это радиус. Отрезок между двумя следами на земле — хорда. А хорда, случайно прошедшая ровно через колышек, — диаметр.

Определение

Радиус окружности

Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Определение

Хорда окружности

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Определение

Диаметр окружности

Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.

Формула

Связь диаметра и радиуса

$d = 2r$ — диаметр в 2 раза больше радиуса.

Ассоциация

Почему именно вдвое — и как не перепутать

Диаметр проходит через центр, а значит распадается на два радиуса, приложенных друг к другу: от края до колышка и от колышка до другого края. Отсюда и множитель 2.

Способ запомнить: диаметр — слово длиннее, и сам отрезок длиннее. Правило самопроверки: радиус не может быть больше диаметра. Получилось больше — вы разделили не то на то.

Считаем в обе стороны

Радиус колеса 30 см. Диаметр: $d = 2r$ , подставляем — $d = 2 \cdot 30 = 60$ см.
Обратная задача: диаметр тарелки 24 см, найти радиус. Из $d = 2r$ следует $r = \frac{d}{2}$ .
Подставляем: $r = \frac{24}{2} = 12$ см.
Самопроверка: $12$ меньше $24$ — радиус меньше диаметра, всё сходится.

Осталось отделить окружность от круга. Окружность — это только сама линия, без внутренности. Круг — это уже заполненная фигура.

Определение

Круг

Часть плоскости, ограниченная окружностью.

Настенные часы с римскими цифрами и стрелками

Неверно

«Круг и окружность — одно и то же, просто разные слова».

Верно

Окружность — линия (обод колеса, ободок часов). Круг — вся область внутри вместе с границей (диск, блин, монета целиком).

Почему круглую крышку люка нельзя уронить в люк, а квадратную — можно?

показать

У квадрата диагональ длиннее стороны, и крышку можно развернуть так, что она провалится. У круга любая хорда не длиннее диаметра, поэтому крышка ни в каком повороте не пройдёт в отверстие.

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какое из следующих определений наиболее точно описывает окружность?

1 из 3

Часть 2 · 8 мин

Где лежит точка

Одно расстояние решает всё

Вышка мобильной связи добивает на 3 км. Ваш дом в 2 км от неё — связь есть. Дом друга в 4 км — связи нет. Вы только что решили геометрическую задачу: определили, лежит ли точка в круге. Всё, что для этого нужно, — одно расстояние и одно сравнение.

Окружность с центром O и точками A, B, C, показывающая соотношение расстояния p и радиуса R

Формула

Принадлежность точки кругу

Неравенство принадлежности точки кругу: $p \leqslant R$ , где $p$ — расстояние от точки до центра круга, $R$ — его радиус.

Ассоциация

Зона покрытия — и почему знак нестрогий

Круг — это зона действия вышки, $R$ — дальность сигнала, $p$ — насколько вы от неё отошли. Пока не ушли дальше, чем берёт вышка, вы внутри зоны.

Почему знак нестрогий: равенство $p = R$ означает, что точка стоит ровно на окружности. Граница принадлежит кругу, поэтому она входит в условие. Правило самопроверки: сравнивайте всегда с радиусом, а не с диаметром — самая частая потеря балла именно здесь.

Проверяем три точки одного круга радиуса 5

Точка на расстоянии $p = 3$ . Сравниваем: $3 \leqslant 5$ — условие выполнено, точка внутри круга.
Точка на расстоянии $p = 5$ . Сравниваем: $5 \leqslant 5$ — выполнено, точка лежит на окружности и принадлежит кругу.
Точка на расстоянии $p = 8$ . Сравниваем: $8 \leqslant 5$ — неверно, точка кругу не принадлежит.
Итог: одна проверка $p \leqslant R$ разбирает все три случая, отдельные правила не нужны.

Из определения окружности следует ещё один факт, который на первый взгляд кажется мелочью, а на деле работает в доказательствах постоянно.

Правило

Теорема

Никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.

Точка O, соединённая отрезками с точками A, D, B, E, C на прямой a, с отметками равных отрезков

Почему трёх точек быть не может

Пусть три точки прямой лежат на окружности — тогда все три одинаково удалены от центра $O$ . Но если двигаться по прямой, расстояние до точки $O$ сначала убывает, доходит до наименьшего значения и дальше только растёт. Одно и то же значение такое движение даёт не более двух раз — по одному на каждую сторону от ближайшей точки. Третьему разу взяться неоткуда.

Прямая пересекла окружность. Сколько общих точек у них может быть?

показать

Не больше двух — именно это и означает теорема о трёх точках.

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какое условие должно выполняться для расстояния $p$ от точки до центра, чтобы эта точка принадлежала кругу радиуса $R$ ?

1 из 3

Часть 3 · 8 мин

Две окружности рядом

Шесть случаев, одно расстояние

Две шестерёнки в механизме: если развести оси слишком далеко, зубцы не сцепятся; сдвинуть слишком близко — заклинит. Между этими крайностями есть рабочий диапазон. Геометрия описывает его точно, и для этого хватает трёх чисел: двух радиусов и расстояния между центрами.

Шесть схем взаимного расположения двух окружностей, обозначенных буквами от а до е

Формула

Взаимное расположение двух окружностей

Для окружностей с радиусами $R$ и $r$ ( $R \ge r$ ) и расстоянием $p$ между центрами:

— две общие точки (пересекаются): $R - r < p < R + r$ ;

— одна общая точка (внешнее касание): $p = R + r$ ;

— одна общая точка (внутреннее касание): $p = R - r$ .

Ассоциация

Два обруча на полу — и как запомнить края диапазона

Положите на пол два обруча и разводите их. Пока они наезжают друг на друга, пересечений два. В момент, когда обручи только соприкоснулись снаружи, между центрами ровно сумма радиусов — дальше общих точек не остаётся. Если же маленький обруч лежит внутри большого и прижался к нему изнутри, расстояние между центрами равно разности радиусов.

Способ запомнить: снаружи — сумма $R + r$ , изнутри — разность $R - r$ , а всё, что между ними, даёт две точки. Правило самопроверки: посчитайте обе границы прежде, чем отвечать: почти все ошибки — от того, что посчитали одну.

Три случая выше — те, где общие точки есть. Но на рисунке из учебника вариантов шесть, и остальные три — это случаи, когда общих точек нет вовсе. Разобрать их проще всего тем же сравнением $p$ с двумя границами.

Правило

Когда общих точек нет

— Внешнее расположение: $p > R + r$ . Окружности разошлись, каждая целиком вне другой.

— Внутреннее расположение без касания: $p < R - r$ . Меньшая лежит внутри большей и до неё не достаёт.

— Концентрические окружности — частный случай предыдущего: $p = 0$ , центры совпадают, одна окружность внутри другой на одинаковом расстоянии по всем направлениям.

Все шесть случаев по одному признаку
Расстояние между центрами	Общих точек	Как выглядит
$p > R + r$	Нет	Разошлись, каждая вне другой
$p = R + r$	Одна	Соприкоснулись снаружи
$R - r < p < R + r$	Две	Накладываются друг на друга
$p = R - r$	Одна	Меньшая прижата к большей изнутри
$p < R - r$	Нет	Меньшая внутри большей, не касаясь
$p = 0$	Нет	Концентрические: центры совпали

Разбираем расположение по трём числам

Даны $R = 8$ , $r = 3$ , $p = 11$ . Сначала считаем границы: сумма $R + r = 11$ , разность $R - r = 5$ .
Сравниваем $p$ с суммой: $11 = 11$ , то есть $p = R + r$ .
Это случай внешнего касания — общая точка ровно одна.
Изменим условие: пусть $p = 7$ . Проверяем диапазон: $5 < 7 < 11$ , значит $R - r < p < R + r$ .
Вывод: окружности пересекаются в двух точках.

Окружность с центром A и вписанными отрезками AC, AB, AM, AE, образующими хорды и треугольники

Радиусы $R = 6$ и $r = 2$ . При каком расстоянии между центрами будет внутреннее касание?

показать

При $p = R - r = 6 - 2 = 4$ .

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Две окружности с радиусами $R$ и $r$ ( $R \ge r$ ) касаются внешним образом. Какое соотношение верно для расстояния $p$ между их центрами?

1 из 3

Мешает то, что у круга нет «длинной диагонали». У квадратной крышки диагональ длиннее стороны: поверни её на 45 градусов, поставь на ребро — и она провалится в собственный проём. У круглой крышки самый длинный отрезок с концами на границе — это диаметр, и он один и тот же в любом направлении. Любая другая хорда короче диаметра, но ни одна не длиннее. Поэтому как крышку ни поворачивай, её наибольший размер всегда равен диаметру люка — и она ложится на края, а не проходит внутрь. Это же свойство объясняет, почему круглую крышку можно катить, а не нести.

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Окружность — все точки плоскости на одном расстоянии от центра; круг — часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус соединяет центр с точкой окружности, хорда — две точки окружности, диаметр — хорда через центр и самая большая из хорд
Диаметр и радиус связаны как $d = 2r$
Точка принадлежит кругу, когда $p \leqslant R$ ; знак нестрогий, потому что граница входит в круг
Для двух окружностей: две общие точки при $R - r < p < R + r$ , внешнее касание при $p = R + r$ , внутреннее — при $p = R - r$ ; общих точек нет при $p > R + r$ и при $p < R - r$ (в том числе у концентрических, когда $p = 0$ )

Термины урока

Окружность

Центр окружности

Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.

Радиус окружности

Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Хорда окружности

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр окружности

Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.

Круг

Часть плоскости, ограниченная окружностью.

Шпаргалка

Формулы

$d = 2r$

диаметр через радиус

$\rho \le R$

точка внутри круга ( $\rho$ — до центра)

Что есть что

Окружность: все точки на расстоянии $r$ от центра
Круг: окружность и всё внутри неё
Хорда: отрезок между двумя точками окружности
Диаметр: хорда через центр, самая длинная

Две окружности (

p

— между центрами,

R \ge r

)

$p > R + r$: не пересекаются
$p = R + r$: внешнее касание
$R - r < p < R + r$: две общие точки
$p = R - r$: внутреннее касание
$p < R - r$: одна внутри другой; $p = 0$ — концентрические

Секретный факт

Круглые люки делают круглыми не ради красоты: это единственная простая форма, крышка которой не может провалиться в собственный проём ни при каком повороте.

Секретный факт

Теорема «никакие три точки окружности не лежат на одной прямой» — причина, по которой через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, и притом ровно одну.

Повторялка

осталось ещё 52 · круг ≈ 13 мин

Вопрос1/52

Дайте определение геометрической фигуры «окружность».

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/52

Фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от заданной точки (центра).

отметь: знал или нет

выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

6 заданий по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202716

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 1961 балл

ОГЭ 202724

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 24 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202616

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

Задание ОГЭ 2026 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 361 балл

ОГЭ 202625

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$ . Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ .

Задание ОГЭ 2026 года, номер 25 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202523

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 6$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Задание ОГЭ 2025 года, номер 23 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202525

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ .