Если расстояние от центра окружности до прямой $p$ больше радиуса $R$ ($p > R$), то сколько общих точек имеют прямая и окружность?

Бесконечно много

Каким свойством обладают отрезки касательных $MA$ и $MB$, проведённых к окружности из одной точки $M$?

Они равны между собой

Они перпендикулярны друг другу

Их сумма равна диаметру

$MA$ всегда в два раза больше $MB$

Что такое «точка касания»?

Точка, лежащая внутри круга

Любая точка на секущей прямой

Точка $M$ расположена вне круга. $MA$ и $MB$ — отрезки касательных. Что верно для углов $\angle OMA$ и $\angle OMB$?

$\angle OMA + \angle OMB = 180^{\circ}$

$\angle OMA$ всегда в два раза больше $\angle OMB$

Что представляет собой отрезок касательной, проведённой из точки $M$?

Отрезок, соединяющий точку $M$ с точкой касания

Отрезок, соединяющий точку $M$ с центром окружности

Отрезок, соединяющий центр $O$ с точкой касания

Любая часть прямой, проходящей через круг

Если из точки $M$ проведены касательные $MA$ и $MB$, как соотносятся углы $\angle OMA$ и $\angle OMB$?

$\angle OMA + \angle OMB = 90^{\circ}$

Эти углы всегда прямые

Какой признак позволяет утверждать, что прямая $a$ является касательной к окружности в точке $A$?

Она проходит через точку $A$ на окружности и перпендикулярна радиусу $OA$

Она просто имеет общие точки с окружностью

Она пересекает радиус в его середине

Она проходит через центр окружности $O$

В обозначениях параграфа, что именно означает символ $p$?

Длина касательной

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей

Окружность и прямая

Прямая и окружность могут не встречаться, пересекаться в двух точках или касаться в одной — всё решает сравнение двух отрезков: радиуса и расстояния от центра до прямой. Разбираем три случая, касательную, её свойство «перпендикулярна радиусу» и почему две касательные из одной точки всегда одинаковой длины.

3 частей · 30 минсреднийчитаешь как гость

Окружность и прямая | Геометрия 8 класс12:55

00:00 / 12:55на площадке

О чём видео

12:55 · одним куском

Дорога и озеро: три случая
Касательная: одна точка и прямой угол
Две касательные из одной точки

Посмотри на искры от болгарки: они не разлетаются куда попало, а вылетают тонкими прямыми лучами, и каждый луч будто только чиркает край диска — не пересекая его. Почему прямая от искры «трогает» окружность ровно в одной точке и под каким углом она стоит к диску?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

После урока ты сможешь

По радиусу $R$ и расстоянию $p$ от центра до прямой сразу сказать, сколько у прямой и окружности общих точек
Доказать, что прямая — касательная, и пользоваться тем, что касательная перпендикулярна радиусу в точке касания
Находить углы и отрезки в задаче с двумя касательными из одной точки, не вычисляя ничего лишнего

Часть 1 · 10 мин

Дорога и озеро: три случая

Сравниваем

p

R

— и всё известно

Представь круглое озеро и прямую дорогу. Дорога может пройти далеко от озера, может срезать его по берегу (тогда её придётся класть по мосту), а может лишь чиркнуть край, задев берег в одной точке. Кто это решает? Не «форма» дороги и не размер озера сами по себе, а два расстояния: радиус озера и расстояние от его центра до дороги.

В учебнике эти два отрезка называются $R$ — радиус окружности и $p$ — расстояние от центра окружности $O$ до прямой. Расстояние до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую (не любого отрезка до неё, а самого короткого). На рисунках перпендикуляр выделен цветом.

Окружность с центром O и радиусом R, выше неё прямая a; из центра к прямой опущен перпендикуляр p, он длиннее радиуса

Окружность с центром O, прямая пересекает её в точках A и B; перпендикуляр p из центра короче радиуса R, проведённого в точку B

Окружность с центром O, прямая задевает её в одной точке; радиус в эту точку перпендикулярен прямой

Формула

Три случая взаимного расположения прямой и окружности

$p > R$ — прямая и окружность не имеют общих точек
$p < R$ — прямая и окружность имеют две общие точки
$p = R$ — прямая и окружность имеют одну общую точку

Здесь $R$ — радиус окружности, $p$ — расстояние от центра окружности до прямой.

Ассоциация

Как это понять и как проверить себя

Радиус — это «дальность вылазки» окружности от центра: дальше чем на $R$ от центра ни одна её точка не уходит. Если дорога проходит от центра дальше, чем окружность вообще дотягивается ( $p > R$ ), встретиться им негде. Если ближе ( $p < R$ ) — дорога заходит внутрь круга, а войти внутрь и выйти наружу прямая может только через берег, поэтому точек ровно две: вход и выход. Если ровно на $R$ — дорога лишь задевает берег в одной точке.

Правило самопроверки: всегда сравнивай $p$ именно с радиусом, а не с диаметром, и $p$ — это перпендикуляр из центра. Получил «общих точек три» — ошибка: прямая не может пересечь окружность больше чем в двух точках.

Окружность с центром O, прямая проходит через центр и пересекает окружность в точках A и B

Диаметр окружности равен 10 см. Прямая

a

удалена от её центра на 4 см, 10 см и 5 см. В каком случае прямая — касательная?

Сравнивать нужно с радиусом, а дан диаметр: $R = 10 : 2 = 5$ см.
$p = 4$ см: $4 < 5$ , то есть $p < R$ — прямая режет окружность, две общие точки, это секущая.
$p = 10$ см: $10 > 5$ , то есть $p > R$ — прямая проходит мимо, общих точек нет.
$p = 5$ см: $5 = 5$ , то есть $p = R$ — одна общая точка. Касательная — только в третьем случае.

Неверно

Диаметр 10 см, прямая на расстоянии 10 см от центра — значит, касается: числа же совпали.

Верно

Совпасть с $p$ должен радиус, а не диаметр. Радиус здесь 5 см, $p = 10 > 5$ — прямая проходит мимо окружности, общих точек нет.

Радиус окружности 6 см. Прямая проходит от центра на расстоянии 6 см, но не через перпендикуляр, а «наискосок» — так бывает?

показать

Нет. Расстояние от точки до прямой — это по определению длина перпендикуляра, «наискосок» оно не измеряется. Если перпендикуляр из центра равен 6 см, прямая касается окружности в его основании.

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какое условие должно выполняться, чтобы прямая и окружность имели ровно две общие точки?

1 из 3

Часть 2 · 12 мин

Касательная: одна точка и прямой угол

Свойство и признак — одна теорема в две стороны

Третий случай настолько важный, что у прямой в нём своё имя. Заодно назовём и второй случай.

Определение

Секущая и касательная

Секущая — прямая, имеющая две общие точки с окружностью.

Касательная к окружности — прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью.

Точка касания — общая точка касательной и окружности.

Окружность с центром O; прямая a, подписанная «касательная», задевает окружность в единственной точке A

Вернёмся к искрам. Искра отрывается от края диска и дальше летит по прямой — той самой, которая с окружностью диска имеет одну общую точку, точку отрыва. Отсюда и выражение «летит по касательной». А теперь главный вопрос: под каким углом эта прямая стоит к радиусу, проведённому в точку отрыва?

Абразивный диск, от края которого прямыми пучками разлетаются искры

Формула

Свойство касательной (теорема)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:

$a \perp OA$ , где $a$ — касательная, $O$ — центр окружности, $A$ — точка касания.

Ассоциация

Почему обязательно прямой угол

Колесо стоит на асфальте. Дорога — касательная к колесу (общая точка одна — где резина давит на асфальт), а спица, идущая из оси прямо в эту точку, стоит к дороге строго вертикально. Наклони спицу — и её конец окажется либо под асфальтом, либо над ним, то есть уже не в точке касания. Так и с радиусом: единственный радиус, который «достаёт» до касательной, — перпендикулярный ей, потому что у касательной $p = R$ , а $p$ — это и есть перпендикуляр из центра.

Правило самопроверки: увидел в задаче касательную — сразу проведи радиус в точку касания и отметь прямой угол. Прямоугольный треугольник в задаче с касательной появляется почти всегда именно так.

Почему так: доказательство от противного

Пусть прямая $a$ — касательная к окружности с центром $O$ , $A$ — точка касания. Предположим, что $a$ не перпендикулярна радиусу $OA$ . Тогда $OA$ — наклонная к прямой $a$ , а наклонная всегда длиннее перпендикуляра. Значит, расстояние от центра до прямой меньше радиуса: $p < R$ . Но тогда по первой части урока прямая $a$ — секущая и общих точек две, а по условию она касательная и точка одна. Противоречие. Следовательно, $a \perp OA$ .

Теорему можно прочитать и в обратную сторону — и это тоже верно. Обратное утверждение называют признаком касательной: по нему доказывают, что данная прямая — касательная.

Формула

Признак касательной (теорема)

Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной.

Окружность с центром O, точка A на ней; через A проведена прямая a, радиус OA образует с ней прямой угол

Ассоциация

Как не забыть признак

Признак — это свойство, прочитанное задом наперёд. Свойство: «касательная → прямой угол с радиусом». Признак: «точка на окружности + прямой угол с радиусом → касательная». Как в замке с двумя ключами: один ключ — точка лежит на окружности, второй — прямая перпендикулярна радиусу в этой точке; повернул оба — замок открылся, прямая признана касательной. Один ключ без второго ничего не открывает.

Правило самопроверки: доказываешь, что прямая — касательная, — в ответе обязаны прозвучать ОБА слова: «точка окружности» и «перпендикулярна радиусу». Не назвал одно — доказательство неполное.

Почему признак работает

По условию $a \perp OA$ , то есть $OA$ — перпендикуляр из центра $O$ к прямой $a$ . Значит, расстояние от центра до прямой равно радиусу: $p = R$ . А при $p = R$ общая точка у прямой и окружности одна — прямая $a$ касательная.

Неверно

Прямая перпендикулярна радиусу — значит, она касательная.

Верно

Не хватает половины условия: прямая должна ещё проходить через конец радиуса на окружности. Перпендикуляр к радиусу можно провести и через его середину — такая прямая режет окружность, это секущая. В признаке два условия: точка на окружности И прямой угол с радиусом в этой точке.

На рисунке 1.14

AC

— диаметр окружности,

AB

— касательная,

\angle ABC = 50^\circ

. Найдите угол

COD

Касательная $AB$ перпендикулярна радиусу $OA$ в точке касания, а $OA$ лежит на диаметре $AC$ . Значит, $\angle BAC = 90^\circ$ .
В треугольнике $ABC$ два угла известны: $\angle BAC = 90^\circ$ и $\angle ABC = 50^\circ$ . Третий: $\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ .
Точка $D$ лежит на прямой $CB$ , поэтому $\angle OCD$ — тот же угол $ACB$ : $\angle OCD = 40^\circ$ .
$OC$ и $OD$ — радиусы, треугольник $COD$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle ODC = \angle OCD = 40^\circ$ .
$\angle COD = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$ . Ответ: $100^\circ$ .

Окружность с центром O, вертикальный диаметр AC; в точке A горизонтальная касательная с прямым углом к диаметру; точка B на касательной, отрезок BC пересекает окружность в точке D, проведён радиус OD

Радиус окружности 5 см. Через точку окружности провели прямую, а перпендикуляр из центра к этой прямой оказался длиной 3 см. Может ли эта прямая быть касательной?

показать

Нет. У касательной перпендикуляр из центра — это сам радиус, то есть $p = R = 5$ см. Здесь $p = 3 < 5$ — прямая секущая, у неё есть вторая общая точка с окружностью.

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Как называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку?

1 из 3

Часть 3 · 8 мин

Две касательные из одной точки

Равные отрезки и равные углы — из двух прямоугольных треугольников

Если точка $M$ лежит вне круга, из неё к окружности можно провести две касательные — как два луча фонарика, которые обходят круглый столб слева и справа и лишь чиркают его края.

Окружность с центром O, точка M справа вне круга; из M выходят две прямые, касающиеся окружности в точках A и B, радиусы OA и OB перпендикулярны им

Определение

Отрезки касательных

Отрезки касательных, проведённых из одной точки — отрезки, соединяющие данную точку, не принадлежащую кругу, с точками касания.

На рисунке это $MA$ и $MB$ .

Формула

Теорема об отрезках касательных

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:

$MA = MB$ , $\angle OMA = \angle OMB$ .

Ассоциация

Согни лист по линии

OM

Картинка симметрична: прямая $OM$ через точку и центр — как линия сгиба. Согни лист по ней — окружность ляжет сама на себя (центр на сгибе), точка $M$ останется на месте, и верхняя касательная точно накроет нижнюю. Всё, что совпало при сгибе, равно: отрезок $MA$ лёг на $MB$ , угол $OMA$ — на угол $OMB$ .

Правило самопроверки: в задаче с двумя касательными из одной точки сразу подпиши на чертеже равные отрезки одинаковыми штрихами и помни, что $OM$ делит угол между касательными пополам. Если получил $MA \neq MB$ — где-то ошибка.

Почему так: два равных прямоугольных треугольника

Проведём радиусы $OA$ и $OB$ в точки касания (рис. 1.13). По свойству касательной $MA \perp OA$ и $MB \perp OB$ , значит, треугольники $OAM$ и $OBM$ прямоугольные. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $OA = OB$ (радиусы). Прямоугольные треугольники с равными гипотенузой и катетом равны, поэтому равны и остальные их элементы: $MA = MB$ и $\angle OMA = \angle OMB$ .

Окружность с центром O, точка M вне круга, касательные MA и MB с прямыми углами при A и B, проведён отрезок OM

Из точки

M

к окружности проведены касательные

MA

MB

MA = 7

см,

\angle AMB = 70^\circ

. Найдите

MB

\angle OMA

Отрезки касательных из одной точки равны: $MB = MA = 7$ см.
Прямая $OM$ образует с касательными равные углы, то есть делит угол $AMB$ пополам: $\angle OMA = 70^\circ : 2 = 35^\circ$ .
Ответ: $MB = 7$ см, $\angle OMA = 35^\circ$ . Ничего измерять и вычислять сверх этого не нужно — теорема даёт ответ сразу.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7

«Описан около окружности» значит, что каждая сторона квадрата касается окружности. Так эту тему спрашивают на ОГЭ в задании 16.
Для касательной расстояние от центра до прямой равно радиусу: до каждой стороны от центра ровно $7$ .
Две противоположные стороны параллельны, центр между ними, до каждой $7$ — расстояние между ними $7 + 7 = 14$ . Это и есть сторона квадрата.
Площадь: $S = 14 \cdot 14 = 196$ . Ответ: $196$ .

Из точки $M$ проведены касательные $MA$ и $MB$ , $\angle OMA = 25^\circ$ . Чему равен угол $AMB$ ?

показать

$\angle AMB = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$ : прямая $OM$ делит угол между касательными пополам.

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Чему равен угол между касательной к окружности и радиусом, проведённым в точку касания?

1 из 3

Искра отрывается от края диска в одной точке и дальше летит по прямой, у которой с окружностью диска эта точка — единственная общая. Такая прямая и есть касательная, отсюда выражение «по касательной». А угол к диску у неё всегда один и тот же: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому все искры выглядят как прямые лучи, каждый из которых стоит под прямым углом к «своему» радиусу и лишь чиркает край диска, никогда не пересекая его. Проверить, что луч именно касается, можно и без картинки: расстояние от центра диска до прямой луча в точности равно радиусу — $p = R$ .

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Сравни $p$ (перпендикуляр из центра на прямую) с радиусом $R$ : $p > R$ — общих точек нет, $p < R$ — две (секущая), $p = R$ — одна (касательная).
Касательная — прямая с единственной общей точкой с окружностью; она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: $a \perp OA$ .
Признак: прямая через точку окружности, перпендикулярная радиусу в этой точке, — касательная. Нужны оба условия.
Из точки вне круга идут две касательные; их отрезки равны ( $MA = MB$ ), а прямая через точку и центр делит угол между ними пополам ( $\angle OMA = \angle OMB$ ).

Термины урока

Секущая

Прямая, имеющая две общие точки с окружностью.

Касательная к окружности

Прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью.

Точка касания

Общая точка касательной и окружности.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки

Отрезки, соединяющие данную точку, не принадлежащую кругу, с точками касания.

Расстояние от центра до прямой (

p

)

Длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности на прямую.

Шпаргалка

Прямая и окружность (

p

— от центра до прямой)

$p > R$: общих точек нет
$p < R$: две общие точки, секущая
$p = R$: одна общая точка, касательная
$p = 0$: секущая через центр, точки — концы диаметра

Касательная

$a \perp OA$

касательная перпендикулярна радиусу в точку касания

$MA = MB$

отрезки касательных из одной точки равны

$\angle OMA = \angle OMB$

$OM$ — биссектриса угла между касательными

Доказать, что прямая — касательная

Точка: проверь, что прямая проходит через точку окружности
Радиус: проведи радиус в эту точку
Угол: покажи, что прямая перпендикулярна этому радиусу

Задача с касательной

Радиус в точку касания: проведи и отметь прямой угол
Две касательные из точки: отрезки равны, $OM$ делит угол пополам
Прямоугольный треугольник: ищи его с вершинами центр, точка касания, внешняя точка

Секретный факт

Слово «касательная» — перевод латинского tangens, «касающийся». От того же слова — тангенс в тригонометрии: его определяют через отрезок касательной к единичной окружности.

Секретный факт

Больше двух общих точек у прямой и окружности быть не может: в первом параграфе главы доказано, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.

Повторялка

осталось ещё 24 · круг ≈ 6 мин

Вопрос1/24

Каково взаимное расположение прямой и окружности, если $p > R$ ?

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/24

Прямая и окружность не имеют общих точек.

отметь: знал или нет

выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

6 заданий по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202716

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 1961 балл

ОГЭ 202724

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 24 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202616

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

Задание ОГЭ 2026 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 361 балл

ОГЭ 202625

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$ . Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ .

Задание ОГЭ 2026 года, номер 25 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202523

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 6$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Задание ОГЭ 2025 года, номер 23 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202525

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ .

Задание ОГЭ 2025 года, номер 25 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

Задание экзамена здесь появится в старших классах — сначала формула, экзамен потом.

Босс урока

случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые

Босс: собери всё вместе

итоговый тест урока

Вопрос 1 из 8трудный

Если расстояние от центра окружности до прямой $p$ больше её радиуса $R$ ( $p > R$ ), сколько общих точек имеют эта прямая и окружность?

1 из 8