Окружность, описанная около треугольника
Описанная окружность — та, на которой лежат все три вершины треугольника. Доказываем, что серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну, где её центр, почему он бывает вне треугольника и когда центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Хорды и дуги. Вписанная и описанная окружности треугольника | Геометрия 8 класс · глава 3 из 523:28- 00:001Хорды и дуги
- 03:112Окружность, вписанная в треугольник
- 05:263Окружность, описанная около треугольника
- 08:454Решаем задачи (окружность)
- 14:455Подведём итоги (окружность)
Три деревни стоят треугольником, и надо выкопать один колодец так, чтобы до каждой деревни было ровно одинаково. Где его копать — и всегда ли такое место есть? А если деревни образуют очень тупой треугольник, колодец может оказаться… вообще за пределами треугольника. Почему?
Доказывать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от вершин.
Формулировать определение описанной окружности и вписанного треугольника и находить центр описанной окружности как точку пересечения серединных перпендикуляров ().
Различать вписанную и описанную окружности треугольника (центры, радиусы, положение центра) и объяснять, почему в равностороннем треугольнике их центры совпадают.
Серединные перпендикуляры — одна точка
В прошлом уроке мы вписали окружность в треугольник. Теперь задача наоборот: вписать треугольник в окружность, то есть провести окружность через все три его вершины. Центр такой окружности должен быть одинаково удалён от вершин — а множество точек, равноудалённых от двух точек, мы знаем: это серединный перпендикуляр к отрезку между ними.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Почему так. Пусть и — серединные перпендикуляры к сторонам и . Сначала убедимся, что они вообще пересекаются. Предположим противное: . Прямая перпендикулярна , значит перпендикулярна и . Но и перпендикулярна — получается, через точку проходят две прямые, перпендикулярные одной прямой . Это невозможно, значит и пересекаются в некоторой точке .
Теперь докажем, что лежит и на серединном перпендикуляре к стороне . По теореме о серединном перпендикуляре: на прямой , значит ; на прямой , значит . Отсюда — точка равноудалена от концов отрезка и потому лежит на его серединном перпендикуляре . Все три прямые прошли через , причём .
Серединный перпендикуляр — «дорожка», на которой ты одинаково далеко от двух точек. Пересеклись две дорожки — ты одинаково далеко сразу от трёх вершин, а значит стоишь и на третьей дорожке. Та же логика, что с биссектрисами, только «далеко от стен» заменено на «далеко от точек».
Зацепка: СЕРЕДИНные перпендикуляры — сначала ищи СЕРЕДИНЫ сторон, затем ставь перпендикуляр.
Замечание. Точка пересечения серединных перпендикуляров может и не принадлежать треугольнику — в тупоугольном треугольнике она оказывается снаружи. Серединные перпендикуляры, в отличие от биссектрис, не обязаны проходить внутри.
Точка лежит на серединных перпендикулярах к сторонам и . Как отсюда получить, что она равноудалена от и ?
показать
Точка лежит на серединных перпендикулярах к сторонам и . Как отсюда получить, что она равноудалена от и ?
и по теореме о серединном перпендикуляре, значит .
Где может быть расположен центр описанной около треугольника окружности?
Описанная окружность: есть и единственная
Окружность называется описанной около треугольника, если все его вершины лежат на окружности, а треугольник называется вписанным в окружность.
Снова смотри, кто внутри. Теперь внутри — треугольник: его вершины сели на окружность, он вписался в неё. Окружность обходит его снаружи — она его описала. Сравни с прошлым уроком: там внутри была окружность, здесь — треугольник.
Зацепка: ВПИСанный треугольник — его вершины ВПИСАлись на окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Почему так — существование. Пусть — точка пересечения серединных перпендикуляров. Мы доказали, что . Значит, окружность с центром и радиусом проходит через , и — она описана около треугольника.
Единственность. Если окружность описана около треугольника, её центр равноудалён от вершин — лежит на всех трёх серединных перпендикулярах, а это точка . Радиус — расстояние от до вершины. Центр один, радиус один — окружность одна.
Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
— радиус равен расстоянию от центра до любой вершины.
Центр описанной окружности — «колодец» из крючка урока: точка, от которой до всех трёх вершин одинаково. Найти её — значит найти, где сходятся серединные перпендикуляры.
Зацепки: О — это Одна общая точка, где пересеклись серединные перпендикуляры и оказался центр окружности. И самопроверка: из центра до всех вершин путь одинаковый: .
Центр описанной окружности — точка пересечения биссектрис.
Биссектрисы дают центр ВПИСАННОЙ окружности (равноудалённость от сторон). Центр ОПИСАННОЙ — на серединных перпендикулярах (равноудалённость от вершин).
Как найти центр окружности, описанной около треугольника, одним циркулем и линейкой?
показать
Как найти центр окружности, описанной около треугольника, одним циркулем и линейкой?
Построить серединные перпендикуляры к двум сторонам; их пересечение — центр, расстояние до любой вершины — радиус.
Что является центром окружности, описанной около треугольника?
Вписанная и описанная: сравнение и особый случай
| Вписанная окружность | Описанная окружность | |
|---|---|---|
Что касается / где лежит | касается всех сторон | проходит через все вершины |
Как называется треугольник | описанный около окружности | вписанный в окружность |
Центр | пересечение биссектрис | пересечение серединных перпендикуляров |
Центр равноудалён от | сторон: | вершин: |
Где центр | всегда внутри треугольника | внутри, на стороне или снаружи (тупоугольный) |
Сколько таких окружностей | ровно одна | ровно одна |
Полезно помнить: в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Ведь в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является медианой и высотой, а значит, и серединным перпендикуляром к стороне. Биссектрисы и серединные перпендикуляры — одни и те же три прямые, и пересекаются они в одной и той же точке.
В равностороннем треугольнике всё «сплющено» в одно: биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр — одна линия. Поэтому и два центра — один. У любого другого треугольника они разъезжаются.
Зацепка: РАВНОсторонний — всё РАВНО: центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Считаем: сам ; три «больших» — , , ; шесть «малых» прямоугольных — по два у каждого перпендикуляра (, , , , , ). Итого .
Равные: по трём сторонам ( — радиусы, ). Шесть малых прямоугольных треугольников тоже равны между собой: гипотенузы — радиусы, катеты (в равностороннем треугольнике центр описанной окружности — это и центр вписанной, расстояния до сторон равны).
Равнобедренные: , , (две стороны — радиусы) и (равносторонний — частный случай равнобедренного).
Колодец должен быть на одинаковом расстоянии от трёх точек — это центр описанной окружности, точка пересечения серединных перпендикуляров к и .
Строим середины и , проводим через них перпендикуляры к сторонам; их пересечение — место колодца, — расстояние до каждой деревни.
Раз угол тупой, точка окажется вне треугольника — по другую сторону от , чем вершина . Это нормально: серединные перпендикуляры не обязаны пересекаться внутри.
Треугольник прямоугольный. Где лежит центр описанной окружности?
показать
Треугольник прямоугольный. Где лежит центр описанной окружности?
На гипотенузе, в её середине: серединные перпендикуляры к катетам пересекаются на середине гипотенузы (это согласуется с тем, что вписанный прямой угол опирается на диаметр).
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Колодец надо копать в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника «деревень»: по теореме о серединном перпендикуляре эта точка равноудалена от концов каждой стороны, а значит от всех трёх вершин — . Такое место есть всегда: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну, её центр — эта точка, радиус — расстояние до вершины. А за пределами треугольника центр оказывается, когда треугольник тупоугольный: серединные перпендикуляры, в отличие от биссектрис, не обязаны проходить внутри, и их общая точка уезжает за сторону, лежащую против тупого угла. Колодец от этого не хуже — до всех деревень по-прежнему одинаково.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от вершин: .
Окружность описана около треугольника, если все его вершины лежат на ней; треугольник тогда вписан в окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну; центр — точка пересечения серединных перпендикуляров, радиус — расстояние до вершины.
Центр описанной окружности может лежать вне треугольника (тупоугольный); центр вписанной — всегда внутри.
В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают: биссектриса = медиана = высота = серединный перпендикуляр.
Окружность, на которой лежат все вершины треугольника.
Треугольник, все вершины которого лежат на окружности (окружность описана около него).
Прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему; каждая её точка равноудалена от концов отрезка.
Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; равноудалена от вершин.
радиусы описанной окружности равны
радиус через вершину и центр
- Остроугольный
центр внутри треугольника
- Прямоугольный
центр на гипотенузе
- Тупоугольный
центр снаружи треугольника
| Вписанная | Описанная | |
|---|---|---|
Строится по | биссектрисам | серединным перпендикулярам |
Равноудалена от | сторон | вершин |
Центр | всегда внутри | внутри, на гипотенузе или снаружи |
- Равносторонний треугольник
центры вписанной и описанной окружностей совпадают
- Описанная окружность
ровно одна около любого треугольника
У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит ровно на середине гипотенузы — поэтому гипотенуза и есть диаметр, а прямой угол — вписанный угол, опирающийся на диаметр.
У тупоугольного треугольника центр описанной окружности вылетает наружу — за сторону, противолежащую тупому углу. Центр вписанной окружности наружу не выходит никогда.
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Окружность, на которой лежат все вершины этого треугольника.
Так это спрашивают на экзамене
демоверсии ФИПИНайдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.
Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и что продолжения сторон и четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что треугольники и подобны.
Касательные в точках и к окружности с центром в точке пересекаются под углом . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме проведена диагональ . Точка является центром окружности, вписанной в треугольник . Расстояния от точки до точки и прямых и соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма .
В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты: , . Найдите медиану этого треугольника.
Основание равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Какая окружность называется описанной около треугольника согласно определению?
Инфографика
