Подведём итоги (окружность)

Пусть прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Предположим противное: $OA$ не перпендикулярен $a$.

Тогда перпендикуляр $OH$ из центра на прямую короче наклонной $OA$: $OH < r$ — расстояние от центра до прямой меньше радиуса.

Но тогда прямая имеет с окружностью две общие точки, то есть она секущая, а не касательная. Противоречие — значит, $OA \perp a$.

Из точки $A$ проведены касательные $AB$ и $AC$ ($B$, $C$ — точки касания). Проведём $OB$, $OC$, $OA$.

$OB \perp AB$ и $OC \perp AC$ по свойству касательной; треугольники $AOB$ и $AOC$ прямоугольные с общей гипотенузой $OA$ и равными катетами $OB = OC = r$.

Они равны по гипотенузе и катету, откуда $AB = AC$ и $\angle OAB = \angle OAC$.

Полуокружность — дуга в $180^\circ$ (концы — концы диаметра, центральный угол развёрнутый). Вписанный угол — половина: $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Обратно: пусть в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. Построим окружность с диаметром $AB$. Если бы $C$ лежала вне или внутри окружности, угол $ACB$ был бы меньше или больше $90^\circ$ (это можно проверить сравнением с вписанным углом в точке пересечения луча $AC$ с окружностью). Значит, $C$ лежит на окружности — гипотенуза является диаметром.

Обозначим $\angle A = \alpha$, $\angle B = \angle C = \beta$; тогда $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.

Угол между касательной $DB$ и хордой $BC$ равен половине дуги $BC$, заключённой внутри него. Вписанный угол $A$ опирается на дугу $BC$, не содержащую $A$: $\smile BC = 2\alpha$.

Посмотрим на рисунок: касательные пересекаются со стороны вершины $A$, значит внутри угла $DBC$ лежит дуга $BC$, содержащая точку $A$, — её мера $360^\circ - 2\alpha$. Тогда $\angle DBC = \frac{360^\circ - 2\alpha}{2} = 180^\circ - \alpha$.

Треугольник $DBC$ равнобедренный ($DB = DC$ — отрезки касательных из одной точки): $\angle BDC = 180^\circ - 2\angle DBC = 180^\circ - 2(180^\circ - \alpha) = 2\alpha - 180^\circ$. Раз этот угол положителен, $\alpha > 90^\circ$ — угол $A$ тупой.

По условию $\beta = 2\angle BDC = 4\alpha - 360^\circ$. Подставляем в $\alpha + 2\beta = 180^\circ$: $\alpha + 8\alpha - 720^\circ = 180^\circ$, $9\alpha = 900^\circ$, $\alpha = 100^\circ$.

Проверка: $\beta = 40^\circ$, $\angle BDC = 20^\circ$, и действительно $40^\circ = 2 \cdot 20^\circ$. Ответ: $\angle A = 100^\circ$.

Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BH$, значит вписанный угол $BMH$ опирается на полуокружность — он прямой: $HM \perp BC$.

$M$ — середина $BC$, и $HM \perp BC$: отрезок $HM$ — серединный перпендикуляр к $BC$. Точка $H$ на нём, значит $HB = HC$.

Треугольник $BHC$ равнобедренный с прямым углом $H$ ($BH$ — высота): $\angle HBC = \angle HCB = 45^\circ$.

$\angle C = 45^\circ$, $\angle A = \angle C = 45^\circ$ (треугольник равнобедренный с основанием $AC$), $\angle B = 90^\circ$.