Как в математике называется метод изложения, использованный Евклидом в книге «Начала»?

Логический вывод из простых положений

Хаотичное собрание правил

Метод измерения всех фигур линейкой

Метод физического эксперимента

В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса к основанию. Чем ещё она является?

Медианой и высотой

Какое свойство сторон треугольника называется «неравенством треугольника»?

Каждая сторона меньше суммы двух других его сторон

Все стороны треугольника должны быть равны

Любая сторона больше суммы двух других

Сумма квадратов сторон равна квадрату третьей стороны

В прямоугольном треугольнике один из углов равен $30^\circ$. Что можно сказать о катете, лежащем против этого угла?

Он равен половине гипотенузы

Он равен гипотенузе

Он в два раза больше гипотенузы

Он равен второму катету

Что такое серединный перпендикуляр к отрезку согласно его определению как ГМТ?

Множество точек, лежащих на самом отрезке

Линия, проходящая через середину отрезка под острым углом

Можно ли построить треугольник со сторонами $3$ см, $4$ см и $8$ см?

Нет, так как нарушается неравенство треугольника

Нет, так как сумма сторон должна быть равна $180$

Да, такой треугольник существует

Да, это будет тупоугольный треугольник

Два прямоугольных треугольника имеют равные гипотенузы и по одному равному острому углу. Будут ли такие треугольники равны?

Да, по гипотенузе и острому углу

Да, по двум сторонам и углу

Только если они равнобедренные

Нет, не хватает данных о катетах

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей

Повторение

Итоговое повторение геометрии 8 класса: углы при пересечении прямых, равенство треугольников, сумма и внешний угол треугольника, прямоугольный треугольник, параллельные прямые и особые линии — серединный перпендикуляр и биссектриса.

4 частей · 40 минсреднийчитаешь как гость

аудио-обзор «Повторение»17:06

00:00 / 17:06на площадке

О чём видео

17:06 · одним куском

Смежные и вертикальные углы
Равенство треугольников
Сумма углов и прямоугольный треугольник
Параллельные прямые и особые линии

Смотришь на чертёж контрольной: угол, треугольник, две прямые — и совершенно не понимаешь, с какого конца распутывать. Куда смотреть в первую очередь, чтобы за десять секунд понять, что чему равно?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

Окружность: основные свойства

Углы

Смежные

Сумма равна 180°

Вертикальные

Равны между собой

Параллельные прямые

Накрест лежащие равны

Соответственные равны

Сумма односторонних 180°

Треугольники

Общие свойства

Сумма углов 180°

Неравенство треугольника

Внешний угол

Соотношение сторон и углов

Признаки равенства

По двум сторонам и углу

По стороне и двум углам

По трем сторонам

Равнобедренный

Две равные стороны

Углы при основании равны

Свойства биссектрисы/медианы/высоты

Прямоугольный

Угол 90°

Катет против 30°

Признаки равенства по гипотенузе и катету

Прямые на плоскости

Параллельные

Не пересекаются

Аксиома параллельных

Транзитивность параллельности

Перпендикулярные

Угол 90°

Единственность перпендикуляра

Геометрические места точек

Серединный перпендикуляр

Биссектриса угла

Окружность

Центральные и вписанные углы

Хорды и дуги

Вписанная и описанная

После урока ты сможешь

Находить смежные и вертикальные углы по чертежу и вычислять их значения
Доказывать равенство треугольников по трём признакам и применять теорему о сумме углов и о внешнем угле
Определять взаимное расположение прямых и применять свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы

Часть 1 · 9 мин

Смежные и вертикальные углы

Что происходит на пересечении двух прямых

Пересеклись две улицы — на перекрёстке получилось четыре угла. Почему один из них всегда точно дополняет своего соседа до прямой линии, а угол напротив — всегда в точности такой же, как исходный?

Возьми прямую линию и проведи из одной точки луч — линия разделится на два угла. Вместе они образуют развёрнутый угол, то есть прямую, а прямая линия — это ровно $180^\circ$ . Такие два угла называются смежными. А если пересекаются две прямые, получаются четыре угла, и углы, что стоят друг напротив друга через точку пересечения, — вертикальные.

Формула

Смежные и вертикальные углы

Сумма смежных углов: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ .

Вертикальные углы равны: $\angle 1 = \angle 2$ .

Смежные углы с лучом BC на прямой AD и записью суммы 180 градусов — Смежные углы: луч $BC$ на прямой $AD$ , $\angle ABC + \angle CBD = 180^\circ$

Две пересекающиеся прямые с четырьмя пронумерованными углами — Пересекающиеся прямые с пронумерованными углами $1$ , $2$ , $3$ , $4$ : углы напротив друг друга — вертикальные

Ассоциация

Смежные углы — как две дольки, на которые разрезали прямую линию лучом: сколько бы ты ни двигал разрез, вместе дольки всегда дадут целую прямую, то есть $180^\circ$ . Вертикальные углы — как раскрытые ножницы: два лезвия напротив друг друга всегда расходятся на одинаковый угол. Мнемоника-самопроверка: смежные — соседи по прямой, сумма $180^\circ$ ; вертикальные — через дорогу друг от друга, всегда равны.

Найди смежный и вертикальный к данному углу

Дано: $\angle 1 = 130^\circ$ .
Смежный угол дополняет $\angle 1$ до $180^\circ$ : $\angle 2 = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ .
Вертикальный угол равен исходному: $\angle 3 = \angle 1 = 130^\circ$ .
Проверка: смежный с $\angle 3$ тоже даёт $50^\circ$ — совпадает с $\angle 2$ .

Неверно

Раз углы стоят рядом на чертеже, значит они вертикальные.

Верно

Вертикальные — это углы, лежащие напротив друг друга через точку пересечения прямых, а не любые соседние. Соседние углы на одной прямой — это смежные, их сумма $180^\circ$ , а не равенство.

Один из смежных углов равен $70^\circ$ . Чему равен второй — прикинь в уме?

показать

$110^\circ$ , потому что вместе они дают $180^\circ$ .

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Чему равна сумма смежных углов согласно свойствам, изученным в $7$ классе?

1 из 2

Часть 2 · 10 мин

Равенство треугольников

Как доказать одинаковость без наложения

Как доказать, что два треугольника одинаковые, не накладывая их друг на друга и не измеряя все шесть элементов — три стороны и три угла?

Представь два трафарета для вырезания. Если у них совпадает форма — они наложатся идеально, хотя ты и не сверял каждый миллиметр контура. С треугольниками то же самое: достаточно совпадения по одному из трёх «наборов доказательства», и остальное совпадёт автоматически.

Определение

Равные треугольники

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением.

Два треугольника с отметками равенства сторон и углов — Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с засечками и дугами на равных сторонах и углах

Совпадение доказывают тремя способами — признаками равенства треугольников: по трём сторонам ( $ССС$ ), по двум сторонам и углу между ними ( $СУС$ ), по стороне и двум прилежащим к ней углам ( $УСУ$ ).

Два треугольника с равным углом и двумя парами равных прилежащих сторон — Треугольники $ABC$ и $B_1C_1A_1$ с равным углом при вершине $A$ и $A_1$ и двумя парами равных сторон — признак $СУС$

Два треугольника с равной стороной и двумя парами равных прилежащих углов — Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с равной стороной и двумя парами равных прилежащих углов — признак $УСУ$

Два треугольника с тремя парами равных сторон и засечками — Треугольники $ABC$ и $B_1C_1A_1$ с тремя парами равных сторон — признак $ССС$

Ассоциация

Это как собрать треугольник из трёх жёстких палочек ( $ССС$ ) — форма выйдет только одна; или закрепить две палочки жёстким шарниром-углом между ними ( $СУС$ ); или растянуть отрезок между двумя заданными углами, пока лучи не сойдутся ( $УСУ$ ). Зацепка: в СУС угол стоит в середине сокращения — он между сторонами, в УСУ сторона в середине — она между углами; смотри на чертеже, где именно стоит общий элемент.

Определение

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны.

Треугольник с равными боковыми сторонами, отмеченными одинаковыми засечками — Треугольник $ABC$ с одинаковыми засечками на боковых сторонах $AB$ и $BC$

Ассоциация

Равнобедренный треугольник симметричен, как бабочка со сложенными крыльями: сложи его пополам по оси — и стороны с засечками совпадут. Мнемоника: одинаковые засечки на чертеже = равные стороны, их ищи первым делом.

Докажи равенство треугольников по признаку

СУС

Дано: $AB = A_1B_1$ , $\angle B = \angle B_1$ , $BC = B_1C_1$ .
Угол $B$ лежит между парами равных сторон $AB$ , $BC$ и $A_1B_1$ , $B_1C_1$ — это ровно признак $СУС$ .
Значит $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.

Неверно

Совпали сторона, сторона и угол — значит подходит признак $СУС$ , неважно где на чертеже стоит угол.

Верно

Признак $СУС$ работает, только если угол лежит МЕЖДУ равными сторонами. Если угол стоит не между ними, такого признака равенства нет — треугольники равными этим способом не докажешь.

У двух треугольников совпали все три угла. Обязательно ли треугольники равны?

показать

Нет — так можно доказать только подобие, размеры треугольников могут различаться.

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Какое определение равенства треугольников приводится в учебном материале?

1 из 2

Часть 3 · 11 мин

Сумма углов и прямоугольный треугольник

Что известно о суммах, внешнем угле и сторонах

Может ли у треугольника быть сразу два тупых угла?

Вырежи треугольник и оторви от него все три угла, а потом приложи их вершинами в одну точку так, чтобы стороны прилегали друг к другу. Углы сложатся ровно в прямую линию — в развёрнутый угол $180^\circ$ . Поэтому запаса на два угла больше $90^\circ$ каждый (вместе больше $180^\circ$ ) просто не остаётся.

Формула

Сумма углов и внешний угол

Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ .

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Треугольник ABC с тремя обозначенными вершинами — Треугольник с вершинами $A$ , $B$ и $C$

Треугольник с внешним углом и продолжением стороны до точки D — Треугольник $ABC$ : внешний угол при вершине $C$ , продолжение стороны до точки $D$ , $\angle BCD = \angle A + \angle B$

Ассоциация

Внешний угол — как будто два дальних угла треугольника «перетекли» и сложились вместе при третьей вершине: продолжи сторону — увидишь, что внешний угол дополняет свой смежный внутренний до $180^\circ$ , а значит равен сумме двух остальных. Самопроверка: внешний угол всегда БОЛЬШЕ любого внутреннего угла, не смежного с ним, — если у тебя получилось меньше, ищи ошибку.

Формула

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника: $a < b + c$ .

Ассоциация

Сторона треугольника — прямой путь между двумя вершинами. Путь через третью вершину, по двум другим сторонам, — это обход, а обход всегда длиннее прямого пути. Поэтому одна сторона всегда меньше суммы двух остальных. Самопроверка: из палочек $3$ , $4$ и $8$ треугольник не собрать, ведь $3+4=7<8$ — прямой путь короче обходного быть не может.

Существует ли треугольник со сторонами

2

3

6

Проверяем самую длинную сторону $6$ против суммы двух других: $2+3=5$ .
$5 < 6$ — сумма двух сторон меньше третьей, неравенство треугольника нарушено.
Такой треугольник построить нельзя.

Определение

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$ .

Формула

Катет против угла

30^\circ

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$ , равен половине гипотенузы: $a = \frac{c}{2}$ .

Прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и формулой катета — Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ , углом $30^\circ$ при вершине $A$ и формулой $BC = \frac{1}{2}AB$

Ассоциация

Приложи к прямоугольному треугольнику с углом $30^\circ$ его зеркальное отражение по катету, лежащему против этого угла, — получится равносторонний треугольник, и исходный катет окажется ровно половиной стороны, то есть половиной гипотенузы. Мнемоника: « $30^\circ$ — минус половина»: против самого маленького угла лежит самая маленькая сторона — ровно вдвое короче гипотенузы.

Гипотенуза

10

см, угол при основании

30^\circ

— найди катет

Катет лежит против угла $30^\circ$ , применяем формулу $a = \frac{c}{2}$ .
$a = \frac{10}{2} = 5$ см.

Неверно

Катет против угла $30^\circ$ равен половине другого катета.

Верно

Катет против угла $30^\circ$ равен половине ГИПОТЕНУЗЫ — гипотенуза всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежит против прямого угла.

Гипотенуза $14$ см. Чему равен катет против угла $30^\circ$ ?

показать

$7$ см — половина гипотенузы.

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какое утверждение верно для внешнего угла треугольника?

1 из 3

Часть 4 · 10 мин

Параллельные прямые и особые линии

Параллельность, серединный перпендикуляр, биссектриса

Рельсы никогда не пересекаются, а стены комнаты сходятся под прямым углом. Как это доказать на чертеже, а не просто увидеть на глаз?

Определение

Параллельные прямые

Параллельные прямые — две прямые на плоскости, которые не пересекаются.

Ассоциация

Параллельные прямые — как рельсы: идут рядом сколько угодно далеко и никогда не сходятся.

Если прямые пересекаются ровно под $90^\circ$ , их называют перпендикулярными и обозначают $a \perp b$ .

Две перпендикулярные прямые с отметкой прямого угла — Взаимно перпендикулярные прямые $a$ и $b$ с точкой $A$ : обозначение $a \perp b$

Формула

Односторонние углы при параллельных прямых

Сумма односторонних углов при параллельных прямых: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ .

Две прямые, пересечённые секущей, с двумя отмеченными углами — Две прямые $a$ и $b$ , пересечённые секущей прямой, с отмеченными углами $1$ и $2$

Ассоциация

Односторонние углы стоят по одну сторону от секущей — как два соседа по одну сторону забора. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, соседи всегда делят между собой полный разворот в $180^\circ$ . Самопроверка: сумма не $180^\circ$ — значит прямые не параллельны.

Определение

Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Треугольник с серединным перпендикуляром к одной из сторон — Треугольник $ABM$ с прямой $p$ — серединным перпендикуляром к отрезку $AB$

Ассоциация

Представь весы: серединный перпендикуляр проходит точно через середину отрезка под прямым углом, и любая точка на нём одинаково «справедлива» к обоим концам — расстояния равны. Мнемоника: «серединный» — через середину, «перпендикуляр» — под $90^\circ$ : оба слова в названии буквально описывают, как его строить.

Определение

Биссектриса угла

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Угол, разделённый биссектрисой, с точкой на ней и перпендикулярами к сторонам — Угол $A$ , разделённый на углы $1$ и $2$ , с точкой $M$ и отрезками $MB$ и $MC$ к сторонам угла

Ассоциация

Биссектриса делит угол пополам, как нож делит торт на две одинаковые доли, и любая точка на этом «разрезе» одинаково удалена от обеих сторон угла. Зацепка: БиссектриСА — это крыСА, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Серединный перпендикуляр и биссектриса — обе линии про равноудалённость
	Серединный перпендикуляр	Биссектриса угла
От чего строится	от отрезка	от угла
Что равноудалено	точки от двух концов отрезка	точки от двух сторон угла
Форма	прямая через середину под $90^\circ$	луч из вершины угла

Точка на биссектрисе угла

Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$ .
По определению биссектрисы расстояния от $M$ до обеих сторон угла равны.
Если известно одно расстояние, второе такое же — искать не нужно.

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$ . Что можно сказать про расстояния от неё до $K$ и до $L$ ?

показать

Они равны.

Проверь себя

мини-тест части 4 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$ , то что можно утверждать об этих прямых?

1 из 2

Начинай с самого простого пересечения на чертеже: смежные углы дают $180^\circ$ , вертикальные — равны. Потом переходи к треугольникам: сумма углов всегда $180^\circ$ , внешний угол равен сумме двух дальних. Если на чертеже есть две прямые, проверь их на параллельность через сумму односторонних углов — $180^\circ$ . А особые линии, серединный перпендикуляр и биссектриса, сразу подсказывают, какие отрезки или углы равны, без лишних измерений.

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$ , вертикальные — равны.
Треугольники равны по трём признакам: $ССС$ , $СУС$ (угол между сторонами), $УСУ$ (сторона между углами).
Сумма углов треугольника — $180^\circ$ , внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних.
Катет прямоугольного треугольника против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $a = \frac{c}{2}$ .
При параллельных прямых сумма односторонних углов — $180^\circ$ ; серединный перпендикуляр и биссектриса — линии равноудалённых точек.

Термины урока

Равные треугольники

Треугольники, которые можно совместить наложением.

Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого две стороны равны.

Прямоугольный треугольник

Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$ .

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости, которые не пересекаются.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Биссектриса угла

Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Шпаргалка

Формулы углов и треугольников

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

сумма смежных углов

$\angle 1 = \angle 2$

вертикальные углы равны

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

сумма углов треугольника

$a = \frac{c}{2}$

катет против угла $30^\circ$

$a < b + c$

неравенство треугольника

Признаки равенства треугольников

$ССС$: три пары равных сторон
$СУС$: две стороны и угол между ними
$УСУ$: сторона и два прилежащих угла

Определения фигур

Равнобедренный треугольник: две стороны равны
Прямоугольный треугольник: один угол равен $90^\circ$
Параллельные прямые: не пересекаются на плоскости

Особые линии

Серединный перпендикуляр: точки равноудалены от концов отрезка
Биссектриса угла: точки равноудалены от сторон угла

Смежные, вертикальные, односторонние

	Смежные	Вертикальные	Односторонние
Соотношение	сумма $180^\circ$	равны	сумма $180^\circ$ при $a \parallel b$
Расположение	на одной прямой	друг напротив друга	по одну сторону секущей

Секретный факт

Неравенство треугольника $a < b + c$ — это строгая граница: если сумма двух сторон в точности равна третьей, треугольник не строится вообще, все три стороны сливаются в один отрезок.

Секретный факт

Серединные перпендикуляры и биссектрисы треугольника — не абстракция, а готовый рецепт построения циркулем и линейкой: именно по ним находят центры окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него.

Повторялка

осталось ещё 50 · круг ≈ 13 мин

Вопрос1/50

Чему равна сумма смежных углов?

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/50

$180^\circ$ .

отметь: знал или нет

выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

6 заданий по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202716

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 1961 балл

ОГЭ 202724

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 24 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202616

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

Задание ОГЭ 2026 года, номер 16 — Оригинал задания из демоверсии

Ответ: 361 балл

ОГЭ 202625

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$ . Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ .

Задание ОГЭ 2026 года, номер 25 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202523

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 6$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Задание ОГЭ 2025 года, номер 23 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202525

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ .

Задание ОГЭ 2025 года, номер 25 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

Задание экзамена здесь появится в старших классах — сначала формула, экзамен потом.

Босс урока

случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые

Босс: собери всё вместе

итоговый тест урока

Вопрос 1 из 8трудный

Даны два смежных угла, один из которых равен $75^\circ$ . Какова величина второго угла?

1 из 8

Инфографика

весь урок одной картинкой — нажми, чтобы рассмотреть

Слайды

15 слайдов по всему уроку — нажми на слайд, чтобы рассмотреть

Конспект

весь параграф сжатым текстом — для повторения перед контрольной

показать целикомсвернуть

Основы планиметрии: Повторение и ключевые понятия

Данное учебное пособие систематизирует основные геометрические сведения, изученные в курсе 7 класса, и служит фундаментом для дальнейшего изучения свойств фигур на плоскости, включая теорию окружностей.

1. Углы и их свойства

В геометрии выделяют несколько ключевых видов углов, чьи взаимоотношения являются базовыми для решения задач.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы: Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$ .
Вертикальные углы: Углы, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого. Вертикальные углы равны между собой.

Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами

С параллельными сторонами: Такие углы либо равны, либо в сумме составляют $180^\circ$ .
С перпендикулярными сторонами: Аналогично углам с параллельными сторонами, они либо равны, либо их сумма равна $180^\circ$ .

2. Треугольники: Признаки и свойства

Треугольник — базовая фигура, свойства которой определяются его сторонами и углами.

Равенство треугольников

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

1-й признак (СУС) — По двум сторонам и углу между ними.
2-й признак (УСУ) — По стороне и двум прилежащим к ней углам.
3-й признак (ССС) — По трем сторонам.

Равнобедренный треугольник

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны.

Свойства:
- Углы при основании равны.
- Биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой.
Признаки: Треугольник считается равнобедренным, если два его угла равны или если один из отрезков (медиана, биссектриса, высота) совпадает с другим.

Прямоугольный треугольник

Один из углов равен $90^\circ$ .

Признаки равенства: по двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по катету и противолежащему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.
Особое свойство: Катет, лежащий против угла в $30^\circ$ , равен половине гипотенузы ( $a = c / 2$ ).

Общие теоремы о треугольниках

Сумма углов: Всегда равна $180^\circ$ .
Внешний угол: Равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Неравенство треугольника: Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон ( $a < b + c$ ).
Соотношение сторон и углов: Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

3. Параллельность и перпендикулярность прямых

Параллельные прямые

Две прямые называются параллельными ( $\parallel$ ), если они не пересекаются на плоскости.

Признаки параллельности (при пересечении секущей):

Накрест лежащие углы равны.
Соответственные углы равны.
Сумма односторонних углов равна $180^\circ$ .
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Перпендикулярные прямые

Прямые называются перпендикулярными ( $\perp$ ), если они пересекаются под прямым углом.

Через любую точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, она перпендикулярна и другой.

4. Геометрические места точек (ГМТ)

Серединный перпендикуляр к отрезку: Множество всех точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Биссектриса угла: Множество точек, равноудалённых от сторон данного угла.

Практикум: Вопросы для самопроверки

Короткие ответы

Чему равна сумма односторонних углов при параллельных прямых?
Как называется отрезок, который в равнобедренном треугольнике, будучи проведённым к основанию, является и медианой, и высотой?
Сформулируйте неравенство треугольника.
Какое соотношение существует между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в $30^\circ$ ?
В каком случае две прямые, перпендикулярные третьей, будут параллельны?
Чему равен внешний угол треугольника?

Темы для эссе (развернутых ответов)

Логика Евклида: Объясните значение труда Евклида «Начала» для современной математики. Почему метод логических рассуждений считается основным в геометрии, и как он соотносится с научным экспериментом в физике?
Анализ признаков равенства треугольников: Сравните признаки равенства произвольных и прямоугольных треугольников. Почему для прямоугольных треугольников требуется меньше условий для доказательства их равенства?
Свойства равноудалённости: Опишите роль серединного перпендикуляра и биссектрисы угла как геометрических мест точек. Приведите примеры их применения при изучении геометрических фигур.

Глоссарий

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла; ГМТ, равноудалённых от сторон угла.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
Градус (°) — единица измерения углов.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.
Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые никогда не пересекаются.
Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему.
Смежные углы — пара углов с общей стороной, составляющие вместе развернутый угол ( $180^\circ$ ).

Таблица понятий

термин, определение и пример в одном месте

показать целикомсвернуть

Термин	Определение	Пример
Смежные углы	Углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами; их сумма равна $180^\circ$	$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
Вертикальные углы	Углы, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого; вертикальные углы равны	$\angle 1 = \angle 2$
Равные треугольники	Треугольники, которые можно совместить наложением; в них против соответственно равных сторон лежат равные углы	$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$
Первый признак равенства треугольников	Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны	$AB = A_1B_1, BC = B_1C_1, \angle B = \angle B_1$
Равнобедренный треугольник	Треугольник, у которого две стороны равны	AB = BC
Сумма углов треугольника	Сумма внутренних углов любого треугольника всегда составляет $180^\circ$	$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
Внешний угол треугольника	Угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника; он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним	$\angle ext = \angle 1 + \angle 2$
Неравенство треугольника	Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон	a < b + c
Прямоугольный треугольник	Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$	$\angle C = 90^\circ$
Свойство катета против угла в $30^\circ$	В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$ , равен половине гипотенузы	a = c / 2
Параллельные прямые	Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются	$a \parallel b$
Признак параллельности (накрест лежащие углы)	Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны	Если $\angle 1 = \angle 2$ , то $a \parallel b$
Односторонние углы	При пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$	$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
Серединный перпендикуляр	Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от концов отрезка	d(M, A) = d(M, B)
Биссектриса угла	Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от сторон угла	d(M, side_1) = d(M, side_2)

Окружность

разбор готов