Центральный и вписанный углы

Учебное пособие: Центральный и вписанный углы

1. Ключевые понятия и теоретические сведения

Дуги и хорды окружности

• Дуга окружности: Две точки $A$ и $B$, принадлежащие окружности, разделяют её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Точки $A$ и $B$ являются концами дуг и принадлежат каждой из них.
• Полуокружность: Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то каждая из двух образуемых дуг называется полуокружностью.
• Хорда: Отрезок, соединяющий концы дуги. Говорят, что хорда стягивает дугу. Каждая хорда стягивает две дуги, сумма градусных мер которых составляет $360^\circ$.

Градусная мера

• Градусная мера всей окружности принимается равной $360^\circ$.
• Градусная мера полуокружности равна $180^\circ$.
• Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Центральный угол

• Определение: Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
• Опора угла: Если дуга лежит во внутренней области центрального угла, то говорят, что данный центральный угол опирается на эту дугу.

Вписанный угол

• Определение: Вписанным углом окружности называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
• Опора угла: Если дуга принадлежит внутренней области вписанного угла, говорят, что угол опирается на эту дугу.

Теорема о вписанном угле и её следствия

• Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
• Следствие 1: Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), является прямым ($90^\circ$).
• Следствие 3: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Формулы и обозначения

Используемые обозначения

Символ / Обозначение · Значение

• $\smile$ — Знак обозначения дуги окружности
• $\smile AB$, $\smile ACB$ — Дуга окружности с концами в точках $A$ и $B$ (или проходящая через точку $C$)
• $\angle$ — Знак обозначения угла
• $^\circ$ — Градус (единица измерения градусной меры)

Ключевые формулы

• $\smile BD = \angle BOD$ — Градусная мера дуги $BD$ равна градусной мере центрального угла $\angle BOD$
• $\smile BAD = 360^\circ - \angle BOD$ — Градусная мера дуги $BAD$, дополняющей дугу $BD$ до полной окружности
• $\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC$ — Вписанный угол $\angle ABC$ равен половине градусной меры дуги $AC$, на которую он опирается
• $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$ — Вписанный угол $\angle ABC$ равен половине центрального угла $\angle AOC$, опирающегося на ту же дугу $AC$

3. Вопросы и задания для проверки знаний (с краткими ответами)

1. Вопрос: Как называют части окружности, на которые её делят две точки?

• Ответ: Дуги окружности.

2. Вопрос: Какой угол называется центральным?

• Ответ: Угол, вершина которого находится в центре окружности.

3. Вопрос: Чему равна градусная мера всей окружности и градусная мера полуокружности?

• Ответ: Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$, а полуокружности — $180^\circ$.

4. Вопрос: Сколько дуг стягивает каждая хорда и чему равна сумма их градусных мер?

• Ответ: Каждая хорда стягивает две дуги; сумма их градусных мер равна $360^\circ$.

5. Вопрос: Какой угол называется вписанным?

• Ответ: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

6. Вопрос: Как связаны между собой градусные меры вписанного и центрального углов, если они опираются на одну и ту же дугу?

• Ответ: Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

7. Вопрос: Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность)?

• Ответ: Он равен $90^\circ$ (прямой угол).

8. Вопрос: В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AB$ и $CD$. Чему равен угол $ACD$, если угол $ABC = 58^\circ$?

• Ответ: $32^\circ$.

4. Задачи и темы для углубленного анализа и доказательств

1. Доказательство теоремы о вписанном угле (Случай 1)

Рассмотрите вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на дугу $AC$, в случае, когда центр окружности $O$ лежит на стороне угла $AB$.

• Порядок доказательства:

1. Провести радиус $OC$.
2. Доказать, что треугольник $BOC$ — равнобедренный ($OB = OC = R$), отсюда $\angle OBC = \angle OCB$.
3. Использовать свойство внешнего угла треугольника: угол $\angle AOC$ является внешним для $\triangle ABC$, следовательно, $\angle AOC = \angle OBC + \angle OCB = 2 \angle OBC$.
4. Сделать вывод: $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \smile AC$.

2. Анализ случаев расположения центра окружности относительно вписанного угла

Изучите доказательство теоремы о вписанном угле для 2-го и 3-го случаев:

• 2-й случай: Центр окружности $O$ находится внутри угла $\angle ABC$. Поясните, как проведение вспомогательного диаметра $BM$ позволяет разбить угол $\angle ABC$ на два угла ($\angle ABM$ и $\angle MBC$) и применить к ним результаты 1-го случая.
• 3-й случай: Центр окружности $O$ находится вне угла $\angle ABC$. Поясните метод доказательства с использованием разности углов, получаемых при проведении диаметра $BM$.

3. Решение геометрической задачи двумя способами

В окружности проведены диаметры $AB$ и $CD$, угол $ABC = 58^\circ$. Требуется найти угол $ACD$.

• Способ 1 (через вписанный угол, опирающийся на диаметр):
• В $\triangle COB$ стороны $OC = OB = R$, значит, он равнобедренный и $\angle OCB = \angle OBC = 58^\circ$.
• Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
• Искомый угол $\angle ACD = \angle ACB - \angle OCB = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$.
• Способ 2 (через центральные и смежные углы):
• Вписанный $\angle ABC$ и центральный $\angle AOC$ опираются на дугу $AC$, поэтому $\angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$.
• Угол $\angle AOD$ смежный с $\angle AOC$, значит, $\angle AOD = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
• Вписанный угол $\angle ACD$ опирается на дугу $AD$, соответствующую центральному углу $\angle AOD$, следовательно, $\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \cdot 64^\circ = 32^\circ$.

4. Применение вписанного угла в задачах на построение

Опишите построение касательных к окружности с центром $O$ из точки $M$, находящейся вне окружности.

• Анализ геометрии построения: Используется свойство, согласно которому вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Если построить вспомогательную окружность с диаметром $OM$, то точки её пересечения $A$ и $B$ с данной окружностью образуют прямые углы $\angle OAM = 90^\circ$ и $\angle OBM = 90^\circ$. Это означает, что радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны отрезкам $MA$ и $MB$, следовательно, $MA$ и $MB$ — искомые отрезки касательных.

5. Глоссарий терминов

• Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
• Градусная мера дуги окружности — величина, равная градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу.
• Дуга окружности — одна из двух частей, на которые делят окружность две принадлежащие ей точки.
• Концы дуги — точки окружности, ограничивающие дугу и принадлежащие ей.
• Полуокружность — дуга окружности, концы которой соединяются диаметром. Градусная мера полуокружности равна $180^\circ$.
• Стягивание дуги хордой — связь между хордой и дугой, при которой хорда соединяет концы этой дуги.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.